Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90⁰，點D是邊AB上一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E，連接DE并延長DE交BC的延長線于點F．

（1）求證：BD＝BF；
（2）若CF＝1，cosB＝，求⊙O的半徑．

Answer 1

解：（1）證明：如圖，連接OE,

∵AC與⊙O相切于點E，  ∴OE⊥AC，即∠OEC＝90⁰.
∵∠ACB＝90⁰，∴∠OEC＝∠ACB。∴OE∥BC。
∴∠OED＝∠F。
∵OE=OD，∴∠OED＝∠ODE�！唷螰＝∠ODE。
∴BD=BF。
（2）∵cosB＝，∴設BC=3ｘ，AB=5ｘ。
∵CF=1，∴。
由（1）知，BD=BF，∴�！��！�,。
∵OE∥BF，∴∠AOE＝∠B�！�，即，解得，。
∴⊙O的半徑為。

試題分析：（1）由平行線的性質、等腰三角形的性質推知∠OED=∠F，則易證得結論。
（2）由cosB＝，設BC=3ｘ，AB=5ｘ，根據(jù)OE∥BF，得∠AOE＝∠B，從而。因此列出關于半徑r的方程，通過解方程即可求得r的值，進而得到⊙O的半徑。