Question

20、已知：如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中點(diǎn)，AE、DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，連接AC、BF．
（1）求證：AB=CF；
（2）若將梯形沿對(duì)角線AC折疊恰好D點(diǎn)與E點(diǎn)重合，梯形ABCD應(yīng)滿(mǎn)足什么條件，能使四邊形ABFC為菱形？并加以證明．

Answer 1

分析：（1）由AB∥DC，即可得∠CFE=∠BAE，又由CE=BE，∠CEF=∠BEA，證得△CEF≌△BEA，則可得AB=CF；
（2）由△CEF≌△BEA，易證得四邊形ABFC是平行四邊形，又由折疊的性質(zhì)，可得AC=CF，則可得當(dāng)梯形ABCD是直角梯形，∠D=90°時(shí)，四邊形ABFC為菱形．

解答：（1）證明：∵AB∥DC，CF是DC的延長(zhǎng)線，
∴CF∥AB，（1分）
∴∠CFE=∠BAE，（2分）
又∵CE=BE，∠CEF=∠BEA，
∴△CEF≌△BEA，（3分）
∴AB=CF；（4分）

（2）當(dāng)梯形ABCD是直角梯形，∠D=90°時(shí)，四邊形ABFC為菱形．（5分）
證明：∵△CEF≌△BEA，
∴AB=CF，EF=EA，
∴四邊形ABFC是平行四邊形，（6分）
由折疊得∠AEC=∠D=90°，
∴AC=CF，（7分）
所以四邊形ABFC為菱形（8分）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了梯形的性質(zhì)，菱形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．