（2013•永州）如圖，已知AB⊥BD，CD⊥BD
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，請問在BD上是否存在P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，求BP的長；若不存在，請說明理由；
（2）若AB=9，CD=4，BD=12，請問在BD上存在多少個(gè)P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似？并求BP的長；
（3）若AB=9，CD=4，BD=15，請問在BD上存在多少個(gè)P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似？并求BP的長；
（4）若AB=m，CD=n，BD=l，請問m，n，l滿足什么關(guān)系時(shí)，存在以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似的一個(gè)P點(diǎn)？兩個(gè)P點(diǎn)？三個(gè)P點(diǎn)？
分析：（1）存在P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，設(shè)BP=x，根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當(dāng)
AB
CD
=
BP
PD
或
AB
PD
=
BP
CD
時(shí)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，代入求出即可；
（2）存在P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，設(shè)BP=x，根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當(dāng)
AB
CD
=
BP
PD
或
AB
PD
=
BP
CD
時(shí)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，代入求出即可；
（3）存在P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，設(shè)BP=x，根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當(dāng)
AB
CD
=
BP
PD
或
AB
PD
=
BP
CD
時(shí)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，代入求出即可；
（4）存在P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，設(shè)BP=x，根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當(dāng)
AB
CD
=
BP
PD
或
AB
PD
=
BP
CD
時(shí)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，代入后根據(jù)根的判別式進(jìn)行判斷即可．
解答：解：（1）存在P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，
理由是：設(shè)BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴當(dāng)
AB
CD
=
BP
PD
或
AB
PD
=
BP
CD
時(shí)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，
∴①
9
4
=
x
10-x
或②
9
10-x
=
x
4
，
解方程①得：x=
90
13
，
方程②得：x（10-x）=36，
x2-10x+36=0，
△=（-10）2-4×1×36＜0，此方程無解，
∴當(dāng)BP=
90
13
時(shí)，以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，
∴存在P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，此時(shí)BP的值為
90
13
；

（2）在BD上存在2個(gè)P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，
理由是：設(shè)BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴當(dāng)
AB
CD
=
BP
PD
或
AB
PD
=
BP
CD
時(shí)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，
∴①
9
4
=
x
12-x
或②
9
12-x
=
x
4
，
解方程①得：x=
108
13
，
方程②得：x（12-x）=36，
x2-12x+36=0，
△=（-12）2-4×1×36=0，
此方程的解為x2=x3=6，
∴當(dāng)BP=
108
13
或6時(shí)，以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，
∴存在2個(gè)點(diǎn)P，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，此時(shí)BP的值為
108
13
或6；

（3）在BD上存在3個(gè)P點(diǎn)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，
理由是：設(shè)BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴當(dāng)
AB
CD
=
BP
PD
或
AB
PD
=
BP
CD
時(shí)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，
∴①
9
4
=
x
15-x
或②
9
15-x
=
x
4
，
解方程①得：x=
135
13
，
方程②得：x（15-x）=36，
x2-15x+36=0，
△=（-15）2-4×1×36=81，
此方程的解為x2=3，x3=12，
∴當(dāng)BP=
135
13
或3或12時(shí)，以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，
∴存在3個(gè)點(diǎn)P，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，此時(shí)BP的值為
135
13
或3或12；

（4）設(shè)BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴當(dāng)
AB
CD
=
BP
PD
或
AB
PD
=
BP
CD
時(shí)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，
∴①
m
n
=
x
l-x
或②
m
l-x
=
x
n
，
解方程①得：x=
ml
m+n
，
方程②得：x（l-x）=mn，
x2-lx+mn=0，
△=（-l）2-4×1×mn=l2-4mn，
∴當(dāng)l2-4mn＜0時(shí)，方程②沒有實(shí)數(shù)根，
即當(dāng)l2-4mn＜0時(shí)，存在以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似的一個(gè)P點(diǎn)；
∵當(dāng)l2-4mn=0時(shí)，方程②有1個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴當(dāng)l2-4mn=0時(shí)，存在以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似的兩個(gè)P點(diǎn)；
∵當(dāng)l2-4mn＞0時(shí)，方程②有2個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴當(dāng)l2-4mn＞0時(shí)，存在以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似的三個(gè)P點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，根的判別式的應(yīng)用，注意：ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c為常數(shù)），當(dāng)△=b2-4ac＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解，當(dāng)△=b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，當(dāng)△=b2-4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•永州）如圖，M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點(diǎn)N，延長BN交AC于點(diǎn)D，已知AB=10，BC=15，MN=3
（1）求證：BN=DN；
（2）求△ABC的周長．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•永州）如圖，下列條件中能判定直線l1∥l2的是（　�。�

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•永州）如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)y=
4
x
和y=
2
x
在第一象限內(nèi)的圖象分別是C1和C2，設(shè)點(diǎn)P在C1上，PA⊥x軸于點(diǎn)A，交C2于點(diǎn)B，則△POB的面積為
1
1
．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•永州）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，圓心在AC上，∠A=30°，D為
BC
的中點(diǎn)．
（1）求證：AB=BC；
（2）求證：四邊形BOCD是菱形．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•永州）如圖，已知二次函數(shù)y=（x-m）2-4m2（m＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)．
（1）寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)（坐標(biāo)用m表示）；
（2）若二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，求二次函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，設(shè)以AB為直徑的⊙M與y軸交于C、D兩點(diǎn)，求CD的長．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案