Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點E為BC的中點，
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）若AB=4，∠C=60°，求圖中陰影部分的面積之和．

Answer 1

考點：圓周角定理,等腰三角形的判定,扇形面積的計算

專題：

分析：（1）連接AE，則可以證得AE是BC的垂直平分線，則AB=AC，從而證得△ABC是等腰三角形；
（2）易證△ABC和△AOD、△OBD、△ODE、△OBE都是等邊三角形，則弧BE與弦BE圍成的弓形的面積與弧DE和弦DE圍成的弓形的面積相等，則陰影部分的面積之和=S_△ABC-S_△AOD-S_△OBD-S_△OED，據(jù)此即可求解．

解答：解：（1）連接AE．
∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
又∵點E為BC的中點，
∴AB=AC，
故△ABC是等腰三角形；

 （2）連接OE，OD．
∵△ABC是等腰三角形，且∠C=60°，
∴△ABC是等邊三角形．
則△OBE和△AOD也是等邊三角形．
∴S_△ABC=

3 ×42

4

=4

3

，S_△AOD=S_△OBD=S_△OED=

3 ×22

4

=

3

．
∴陰影部分的面積之和=S_△ABC-S_△AOD-S_△OBD-S_△OED=

3

．

點評：本題考查了圓周角定理以及等邊三角形的判定，正確理解弧BE與弦BE圍成的弓形的面積與弧DE和弦DE圍成的弓形的面積相等是關(guān)鍵．