Question

（1）如圖（1），尺規(guī)作△ABC的兩內(nèi)角∠A、∠B的角平分線，設(shè)交點(diǎn)為O，點(diǎn)O在∠C的角平分線上嗎？試說明你的猜想．你有什么發(fā)現(xiàn)？
（2）如圖（2），尺規(guī)作△ABC的兩內(nèi)角∠A、∠B的外角平分線，設(shè)交點(diǎn)為O，點(diǎn)O在∠C的角平分線上嗎？試說明你的猜想．你有什么發(fā)現(xiàn)？
（3）你能用你的發(fā)現(xiàn)解決下面的實(shí)際問題：如圖（3）直線l₁、l₂、l₃表示三條互相交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)加油站，要使它到三條公路的距離相等，畫出符合要求的點(diǎn)的位置，共有幾個(gè)？

Answer 1

解：（1）如圖（1）所示：
，
點(diǎn)O在∠C的角平分線上，
過O作OD⊥BC，OF⊥AC，OE⊥AB，
∵O在∠BAC的平分線上，
∴FO=EO，
∵O在∠ABC的平分線上，
∴EO=DO，
∴FO=DO，
∴O也在∠C的平分線上；

（2）如圖（2）所示：
，
證法同（1）；

（3）如圖（3）所示：
，
符合要求的點(diǎn)的位置共有4處．
分析：（1）（2）根據(jù)角平分線的作法作出圖形，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證出點(diǎn)O在∠C的角平分線上；
（3）分別作出三角形內(nèi)角的平分線，再做出三角形外角的平分線，角平分線的交點(diǎn)即為所求．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了做角平分線的交點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)．