Question

已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，E、F分別為AD、AB中點(diǎn)，G為BC邊上一點(diǎn)，且GE=GF．
（1）求證：∠AEG=∠AFG；
（2）猜想：當(dāng)AB=______GC時(shí)，四邊形GCDE為平行四邊形，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD，可通過(guò)證明AB=AD得到AE=AF，又AG=AG，GE=GF，繼而可以證明AEG≌△AFG（SSS），所以又∠AEG=∠AFG；
（2）根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等即可證明這個(gè)四邊形為平行四邊形，當(dāng)AB=2GC時(shí)，可得出ED=GC，又AD∥BC，繼而即可判斷四邊形GCDE為平行四邊形．
解答：證明：（1）連接AG，如圖所示：

∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．
∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD．
∵E、F分別為AD、AB中點(diǎn)，∴AF=AE（4分）
又∵GE=GF，AG=AG，
∴AEG≌△AFG（SSS）．
∴∠AEG=∠AFG．

（2）當(dāng)AB=2GC時(shí)，四邊形GCDE為平行四邊形．
理由如下：
∵AB=AD，E為AD中點(diǎn)，
∴AB=2ED．
∵AB=2GC，∴ED=GC．
又AD∥BC，即是ED∥GC，
∴四邊形GCDE為平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查梯形的知識(shí)，同時(shí)涉及全等三角形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的判定，有一定的難度，要求熟練掌握這些知識(shí)，才能順利解答這類綜合題目．