Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=x+3m交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，線段BC為△ABC中∠ABO的角平分線，OC=3．
（1）求m的值；
（2）點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為D．過點(diǎn)D作x軸的垂線DE，動(dòng)點(diǎn)P從D出發(fā)，以每秒一個(gè)單位的速度沿DE方向運(yùn)動(dòng)，過P作x軸的平行線分別交線段AB、BC于點(diǎn)M、N，設(shè)MN的長度為y（y≠0），P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)0＜t＜3時(shí)，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)以P為圓心，y為半徑的⊙P上有且只有一點(diǎn)到直線AB的距離為時(shí)，求此時(shí)t的值．

Answer 1

解：（1）∵直線y=x+3m交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，
∴A（4m，0），B（0，3m），
∴AB==5m，
過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，
∴∠BOC=∠BHC=90°，
∵線段BC為△ABC中∠ABO的角平分線，
∴∠1=∠2，
在△OBC和△HBC中，
，
∴△OBC≌△HBC（AAS），
∴BO=BH=3m，OC=CH=3，
在Rt△AHC中，CH²+AH²=AC²，
∴3²+（2m）²=（4m-3）²，
解得：m=2；

（2）由（1）得A（8，0），B（0，6），
∴直線AB的解析式為y=-x+6，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
∴，
∴解得：，
∴直線BC的解析式為：y=-2x+6，
∵D（-8，0），
∴P（-8，t），
∴把y=t分別代入直線AB、BC的解析式，
∴M（8-t，t），N（3-t，t），
∴y_MN=-t+5，

（3）在⊙P上任取一點(diǎn)，過該點(diǎn)作AB的平行線，若此直線與圓相交，則在圓上有兩點(diǎn)到直線AB的距離為；
若此直線與圓相切，則⊙P上有且只有一點(diǎn)到直線AB的距離為，
作FG∥AB，與⊙P切于點(diǎn)為I，連接PI并延長交直線AB于點(diǎn)K，DP與直線AB交于點(diǎn)Q，
∴∠QKP=90°，
把x=-8代入直線AB解析式y(tǒng)=-x+6，
得：Q（-8，12），
∴DQ=12，
在Rt△QPK中，PQ=12-t，tan∠PQA=tan∠ABO=，
∴PK=，
∵PK-PI=IK，
∴-（-t+5）=，
解得：t=2，
當(dāng)t=3時(shí)，PK=＞，
∴t有唯一解．
分析：（1）由直線的解析式可求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用勾股定理可求出AB的長，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，再證明△OBC≌△HBC（AAS），由全等的性質(zhì)可得：BO=BH=3m，OC=CH=3，在Rt△AHC中，CH²+AH²=AC²，進(jìn)而求出m的值；
（2）由（1）得A（8，0），B（0，6），所以可求出直線AB的解析式，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，利用已知條件可求出直線BC的解析式，進(jìn)而求出D和P點(diǎn)的坐標(biāo)
把y=t分別代入直線AB、BC的解析式，求出M，N的坐標(biāo)C從而求出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在⊙P上任取一點(diǎn)，過該點(diǎn)作AB的平行線若此直線與圓相交，則在圓上有兩點(diǎn)到直線AB的距離為；若此直線與圓相切，則⊙P上有且只有一點(diǎn)到直線AB的距離為，作FG∥AB，與⊙P切于點(diǎn)為I，連接PI并延長交直線AB于點(diǎn)K，DP與直線AB交于點(diǎn)Q，在Rt△QPK中，PQ=12-t，tan∠PQA=tan∠ABO=，可建立求出t的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及圓的切線的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義，題目的綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)學(xué)生的綜合解題能力要求很高．