如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,有一矩形ABCD,其三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,0)、B(8,0)、C(8,3).將直線l:y=-3x-3以每秒3個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)當(dāng)t=_________時(shí),直線l經(jīng)過點(diǎn)A.(直接填寫答案)
(2)設(shè)直線l掃過矩形ABCD的面積為S,試求S>0時(shí)S與t的函數(shù)關(guān)系式.
(3)在第一象限有一半徑為3、且與兩坐標(biāo)軸恰好都相切的⊙M,在直線l出發(fā)的同時(shí),⊙M以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng),如圖2所示,則當(dāng)t為何值時(shí),直線l與⊙M相切?
(1)1;
(2)當(dāng)1<t≤時(shí),S=;
當(dāng)<t≤3時(shí),S=9t-;
當(dāng)3<t≤時(shí),S=- (3t-10)2+18;
當(dāng)t>時(shí),S=18;
(3)t=5-或t=5+.
解析試題分析:(1)y=-3x-3與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,0),直線l經(jīng)過點(diǎn)A(2,0),故向右平移3個(gè)單位長度,直線l:y=-3x-3以每秒3個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng),所以t=1;
(2)求出直線l:y=﹣3x+9t﹣3,再分情況討論;
(3)分兩種情況討論,借助三角形相似即可.
試題解析:(1)y=-3x-3與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,0),直線l經(jīng)過點(diǎn)A(2,0),故向右平移3個(gè)單位長度,直線l:y=-3x-3以每秒3個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng),所以t=1;
(2)由題意,可知矩形ABCD頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,3).
由一次函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)t由小到大變化時(shí),直線l:y=﹣3(x﹣3t)-3=﹣3x+9t﹣3向右平移,依次掃過矩形ABCD的不同部分.
可得當(dāng)直線經(jīng)過A(2,0)時(shí),t=1;當(dāng)直線經(jīng)過D(2,3)時(shí),t=;當(dāng)直線經(jīng)過B(8,0)時(shí),t=3;當(dāng)直線經(jīng)過C(8,3)時(shí),t=.
①當(dāng)1<t≤時(shí), 如圖所示.
設(shè)直線l:y=-3x+9t﹣3與x軸交于點(diǎn)P,與AD交于點(diǎn)Q.
令y=0,可得x=3t﹣1,∴AP=3t﹣3;
令x=2,可得y=9t﹣9,∴AQ=9t﹣9.
∴S=S△APQ=AP•AQ=(3t﹣3)( 9t﹣9)=;
②當(dāng)<t≤3時(shí),如圖所示.
設(shè)直線l:y=-3x+9t﹣3與x軸交于點(diǎn)P,與CD交于點(diǎn)Q.
令y=0,可得x=3t﹣1,∴AP=3t﹣3;
令y=3,可得x=3t﹣2,∴DQ=3t﹣4.
S=S梯形APQD=(DQ+AP)•AD=9t-;
③當(dāng)3<t≤時(shí),如圖所示.
設(shè)直線l:y=-3x+9t﹣3與BC交于點(diǎn)P,與CD交于點(diǎn)Q.
令x=8,可得y=9t﹣27,∴BP=9t﹣27,CP=30﹣9t;
令y=3,可得x= 3t﹣2,∴DQ= 3t﹣4,CQ=10﹣3t.
S=S矩形ABCD﹣S△PQC=18﹣CP•CQ=-(3t-10)2+18;
④當(dāng)t>時(shí),S=S矩形ABCD=18.
綜上所述, S與t的函數(shù)關(guān)系式為:
;
(3)若直線l:y=﹣3x+9t﹣3與⊙M相切,如圖所示,應(yīng)有兩條符合條件的切線.
設(shè)直線與x軸、y軸交于A、B點(diǎn),則A(3t﹣1,0)、B(0,9t﹣3),∴OB=3OA.
由題意,可知⊙M與x軸相切,設(shè)切點(diǎn)為D,連接MD;
設(shè)直線與⊙M的一個(gè)切點(diǎn)為P,連接MP并延長交x軸于點(diǎn)G;過P點(diǎn)作PN⊥MD于點(diǎn)N,PH⊥x軸于點(diǎn)H.
易證△PMN∽△BAO,∴PN:MN=OB:OA=3,∴PN=3MN.
在Rt△PMN中,由勾股定理得:PM2=PN2+MN2,解得: MN=,PN=,
∴PH=ND=MD﹣MN=3﹣,OH=OD﹣HD=OD﹣PN=2t+3﹣,
∴P(2t+3﹣,3﹣),代入直線解析式求得:t=5﹣;
同理,當(dāng)切線位于另外一側(cè)時(shí),可求得:t=5+.
考點(diǎn):動(dòng)點(diǎn)問題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
我區(qū)某房地產(chǎn)開發(fā)公司于2013年5月份完工一商品房小區(qū),6月初開始銷售,其中6月的銷售單價(jià)為0.7萬元/m2,7月的銷售單價(jià)為0.72萬元/m2,且每月銷售價(jià)格(單位:)與月份x(6≤x≤11,x為整數(shù))之間滿足一次函數(shù)關(guān)系,每月的銷售面積為(單位:),其中y2=-2000x+26000(6≤x≤11,x為整數(shù)).
(1)求與月份的函數(shù)關(guān)系式;
(2)6~11月中,哪一個(gè)月的銷售額最高?最高銷售額為多少萬元?
(3)2013年11月時(shí),因受某些因素影響,該公司銷售部預(yù)計(jì)12月份的銷售面積會(huì)在11月銷售面積基礎(chǔ)上減少,于是決定將12月份的銷售價(jià)格在11月的基礎(chǔ)上增加,該計(jì)劃順利完成.為了盡快收回資金,2014年1月公司進(jìn)行降價(jià)促銷,該月銷售額為(1500+600a)萬元.這樣12月、1月的銷售額共為萬元,請(qǐng)根據(jù)以上條件求出的值為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知二次函數(shù)y=ax2-4x+c的圖象過點(diǎn)(-1,0)和點(diǎn)(2,-9).
(1)求該二次函數(shù)的解析式并寫出其對(duì)稱軸;
(2)已知點(diǎn)P(2,-2),連結(jié)OP,在x軸上找一點(diǎn)M,使△OPM是等腰三角形,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)(不寫求解過程).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在二次函數(shù)中,函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表:
x | … | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … | 8 | 3 | 0 | -1 | 0 | … |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
為鼓勵(lì)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè),某市政府出臺(tái)了相關(guān)政策:由政府協(xié)調(diào),本市企業(yè)按成本價(jià)提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售,成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由政府承擔(dān).李明按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈.已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件元,出廠價(jià)為每件元,每月銷售量(件)與銷售單價(jià)(元)之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù): .
(1)李明在開始創(chuàng)業(yè)的第一個(gè)月將銷售單價(jià)定為元,那么政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為多少元?
(2)設(shè)李明獲得的利潤為(元),當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí),每月可獲得最大利潤?
(3)物價(jià)部門規(guī)定,這種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于元.如果李明想要每月獲得的利潤不低于元,那么政府為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,正方形OABC的邊長為2cm,點(diǎn)A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上,拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B和D(4,).
(1)求拋物線的表達(dá)式.
(2)如果點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B出發(fā),沿BC邊以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)S=PQ2(cm2).
①試求出S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍;
②當(dāng)S取時(shí),在拋物線上是否存在點(diǎn)R,使得以點(diǎn)P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出R點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)在拋物線的對(duì)稱軸上求點(diǎn)M,使得M到D、A的距離之差最大,求出點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
拋物線y=-與y軸交于(0,3),
⑴求m的值;
⑵求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo);
⑶當(dāng)x取何值時(shí),拋物線在x軸上方?
⑷當(dāng)x取何值時(shí),y隨x的增大而增大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
東方商場購進(jìn)一批單價(jià)為20元的日用品,銷售一段時(shí)間后,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),若按每件24元的價(jià)格銷售時(shí),每月能賣36件;若按每件29元的價(jià)格銷售時(shí),每月能賣21件,假定每月銷售件數(shù)y(件)與價(jià)格x(元/件)之間滿足關(guān)系一次函數(shù).
(1)試求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)為了使每月獲得利潤為144元,問商品應(yīng)定為每件多少元?
(3)為了獲得了最大的利潤,商品應(yīng)定為每件多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某批發(fā)商以每件50元的價(jià)格購進(jìn)400件T恤.若以單價(jià)70元銷售,預(yù)計(jì)可售出200件.批發(fā)商的銷售策略是:第一個(gè)月為增加銷售量,降價(jià)銷售,經(jīng)過市場調(diào)查,單價(jià)每降低0.5元,可多售出5件,但最低單價(jià)不低于購進(jìn)的價(jià)格;第一個(gè)月結(jié)束后,將剩余的T恤一次性清倉銷售,清倉時(shí)單價(jià)為40元.設(shè)第一個(gè)月單價(jià)降低x元.
(1)根據(jù)題意,完成下表:
| 每件T恤的利潤(元) | 銷售量(件) |
第一個(gè)月 | | |
清倉時(shí) | | |
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