Question

請(qǐng)閱讀如下材料．如圖，已知正方形ABCD的對(duì)角線ACBD于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，AG⊥BE，垂足為G．求證：OE=OF．

（1）根據(jù)你的理解，上述證明思路的核心是利用______使問(wèn)題得以解決，而證明過(guò)程中的關(guān)鍵是證出______．
（2）若上述命題改為：點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AG⊥BE交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，延長(zhǎng)AG交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖，其他條件不變．求證：OF=OE．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)正方形對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)可以證明OA=OB，（1）求證∠1=∠2，進(jìn)而證明Rt△BOE≌Rt△AOF，即可得OE=OF．（2）求證∠E=∠F，進(jìn)而證明Rt△AOF≌Rt△BOE，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)即可得OE=OF．
解答：證明：∵四邊形ABCD是正方形．
∴∠BOE=∠AOF=90°，且OA=OB．
又∵AG⊥BE，
∴∠1+∠3=90°=∠2+∠3，
即∠1=∠2，
∴Rt△BOE≌Rt△AOF（AAS），
∴OE=OF．
（1）三角形全等，∠1=∠2

（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠AOF=∠BOE=90°，且OA=OB，
又∵∠F+∠FAO=90°，∠E+∠FAO=90°，
即∠E=∠F
∴Rt△AOF≌Rt△BOE，
∴OE=OF．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形各邊長(zhǎng)相等、各內(nèi)角為直角的性質(zhì)，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證Rt△AOF≌Rt△BOE是解題的關(guān)鍵．