Question

已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧AC上的點（不與點A重合），延長BD到E．
（1）求證：AD的延長線平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC邊上的高為2+

3

．求△ABC的外接圓的面積．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）要證明AD的延長線平分∠CDE，即證明∠EDF=∠CDF，轉(zhuǎn)化為證明∠ADB=∠CDF，再根據(jù)A，B，C，D四點共圓的性質(zhì)，和等腰三角形角之間的關(guān)系即可得到．
（2）求△ABC外接圓的面積．只需解出圓半徑，故作等腰三角形底邊上的垂直平分線即過圓心，再連接OC，根據(jù)角之間的關(guān)系在三角形內(nèi)即可求得圓半徑，可得到外接圓面積．

解答：（1）證明：如圖，設(shè)F為AD延長線上一點，
∵A，B，C，D四點共圓，
∴∠CDF=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠CDF，
∵∠ADB=∠EDF，
∴∠EDF=∠CDF，
即AD的延長線平分∠CDE．

（2）設(shè)O為外接圓圓心，連接AO比延長交BC于H，交⊙O于點M，連接OC，
∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

，
∴AH⊥BC．
∴∠OAC=∠OAB=

1

2

∠BAC=

1

2

×30°=15°，
∴∠COH=2∠OAC=30°，
設(shè)圓半徑為r，
則OH=OC•cos30°=

3

2

r，
∵△ABC中BC邊上的高為2+

3

，
∴AH=OA+OH=r+

3

2

r=2+

3

，
解得：r=2，
∴△ABC的外接圓的面積為：4π．

點評：此題主要考查圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外接圓的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．