Question

如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，點(diǎn)D在邊AC上且BD平分∠ABC，設(shè)CD=x．
（1）求證：△ABC∽△BCD；
（2）求x的值；
（3）求cos36°-cos72°的值．

Answer 1

(1)證明見解析；（2）；（3）．

試題分析：（1）由等腰三角形ABC中，頂角的度數(shù)求出兩底角度數(shù)，再由BD為角平分線求出∠DBC的度數(shù)，得到∠DBC=∠A，再由∠C為公共角，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形ABC與三角形BCD相似；
（2）根據(jù)（1）結(jié)論得到AD=BD=BC，根據(jù)AD+DC表示出AC，由（1）兩三角形相似得比例求出x的值即可；
（3）過B作BE垂直于AC，交AC于點(diǎn)E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出cos36°與cos72°的值，代入原式計算即可得到結(jié)果．
試題解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD；
（2）∵∠A=∠ABD=36°，
∴AD=BD，
∵BD=BC，
∴AD=BD=CD=1，
設(shè)CD=x，則有AB=AC=x+1，
∵△ABC∽△BCD，
∴，即，
整理得：x²+x-1=0，
解得：x₁=，x₂=（負(fù)值，舍去），
則x=；
（3）過B作BE⊥AC，交AC于點(diǎn)E，

∵BD=CD，
∴E為CD中點(diǎn)，即DE=CE=，
在Rt△ABE中，cosA=cos36°=，
在Rt△BCE中，cosC=cos72°=，
則cos36°-cos72°=-=．
【考點(diǎn)】1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.等腰三角形的性質(zhì)；3.黃金分割；4.解直角三角形．