Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∆ABO中，∠AOB=90°,∠ABO=45°,OB=12cm，

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OB為x軸，矩形DEFG的長DE=12cm, 寬EF=6cm，以DE為直徑在矩形內(nèi)作半圓O1，矩形及半圓O1整體以2cm/s的速度從左向右運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D、E始終在x軸上，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），矩形和∆ABO的重疊部分的面積為S(cm2).當(dāng)x=0(s)時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)O重合（如圖1）(圖（2）、圖（3）、圖（4）供操作用).

（1）當(dāng)x=3時(shí)，求直線AG的解析式；

（2）當(dāng)0<x<9時(shí),求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)x為何值時(shí)，∆ ABC的斜邊所在的直線與半圓O1所在的圓相切？

 

 

Answer 1

（1）y=x+12

（2）當(dāng)0<x≤3時(shí)，S=12x;

當(dāng)3<x≤6時(shí)設(shè)矩形DEFG與斜邊AB的交點(diǎn)分別為N、H，與直角邊AO的交點(diǎn)為M.

BE＝12－2x，AM＝12－6＝6

∴S＝S∆ABO -S∆AMN -S∆BHE   ＝×12×12－×6×6－×（12－2x）2    ＝－2x2 +24x-18

當(dāng)6<x≤9時(shí)，設(shè)矩形DEFG與斜邊AB的交點(diǎn)為M，延長FG交AO于點(diǎn)H

AH＝12－6＝6,HG＝2x－12

∴S＝S∆ABO-S∆AHM-S矩形HCDG ＝ ×12×12－×6×6－×6×（2x－12）＝－12x＋126，所以， 當(dāng)6<x<9時(shí),S＝－12x＋126

（3）①過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，由題意得OD＝6，∵∠ABO=45°,∠ODB=90°

∴OB==6，∴x1＝

②過點(diǎn)O作OE⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)E，由題意得OE＝6

∵∠OBE=45°,∠OEB=90°，∴OB==6，

∴x2＝，

故當(dāng)x等于（9－）秒或（9＋）秒時(shí)，△ABO的斜邊所在的直線與半圓O1所在的圓相切.