Question

【題目】如圖 1，AM∥CN，點(diǎn) B 為平面內(nèi)一點(diǎn)，AB⊥BC 于 B，過(guò) B 作 BD⊥ AM．

（1）求證：∠ABD=∠C；

（2）如圖 2，在（1）問(wèn)的條件下，分別作∠ABD、∠DBC 的平分線交 DM 于 E、F，若∠BFC=1.5∠ABF，∠FCB=2.5∠BCN，

①求證：∠ABF=∠AFB；

②求∠CBE 的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析，②120°．

【解析】

（1）過(guò)B作BG∥CN，依據(jù)平行線的性質(zhì)，以及同角的余角相等，即可得到∠ABD=∠C；
（2）①設(shè)∠DBE=∠EBA=x，∠ABF=y，依據(jù)∠AFB+∠BCN=∠FBC，即可得到∠AFB=y=∠ABF；
②依據(jù)∠CBE=90°，AF∥CN，可得∠ABG+∠CBG=90°，∠BCN+∠AFB+∠BFC+∠BCF=180°，解方程組，即可得到，進(jìn)而得出∠CBE=3x+2y=120°．

（1）如圖 1，過(guò) B 作 BG∥CN，

∴∠C=∠CBG

∵AB⊥BC，

∴∠CBG=90°﹣∠ABG，

∴∠C=90°﹣∠ABG，

∵BG∥CN，AM∥CN，

∴AM∥BG，

∴∠DBG=90°=∠D，

∴∠ABD=90°﹣∠ABG，

∴∠ABD=∠C；

（2）①如圖 2，設(shè)∠DBE=∠EBA=x，則∠BCN=2x，∠FCB=5x， 設(shè)∠ABF=y，則∠BFC=1.5y，

∵BF 平分∠DBC，

∴∠FBC=∠DBF=2x+y，

∵∠AFB+∠BCN=∠FBC，

∴∠AFB+2x=2x+y，

∴∠AFB=y=∠ABF；

②∵∠CBE=90°，AF∥CN，

∴∠ABG+∠CBG=90°，∠BCN+∠AFB+∠BFC+∠BCF=180°，

∴

∴

∴∠CBE=3x+2y=3×30°+2×15°=120°．