Question

平面上A、B兩點到直線l的距離分別是5與3，則線段AB的中點C到直線l的距離為    ．

Answer 1

【答案】分析：此題分情況考慮：①A、B在直線l的同側(cè)，先利用梯形定義，證出四邊形ABFD是梯形，再利用平行線分線段成比例定理證出AC：BC=DE：EF，而C是AB中點，那么AC：BC=1：1，所以DE：EF=1：1，所以E是DF中點，從而CE是梯形ABFD的中位線，利用梯形中位線定理可求出CE的長；
②A、B在直線l的異側(cè)，先做出B的對稱點B′，再證明CC′是△ABB的中位線，從而易求CC′，由于C′是AB的中點，類似①可知C′E是梯形ADFB′的中位線，從而可求C′E，進而可求CE．
解答：解：①如右圖，A、B在直線l同側(cè)，AD⊥l，BF⊥l，且BF、AD分別是3，5，C是AB中點，作CE⊥l，
∵AD⊥l，BF⊥l，BF≠AD，
∴四邊形ABFD是梯形，
又∵CE⊥l，C是AB中點，
∴CE∥BF∥AD，
∴ED：EF=AC：BC=1：1
∴E是DF的中點，
∴CE是梯形ABFD的中位線，
∴CE=（BF+AD）=×8=4．
②如圖2，A、B在直線l的異側(cè)，AD⊥l，BF⊥l，且BF、AD分別是3，5，
C是AB中點，延長BF到B′，使B′F=BF，連接AB′，過C作CE⊥l，交l于E，交AB′
于C′，
∵CE⊥l，BF⊥l，
∴CC′∥BB′，
∴△ACC′∽△ABB′，
∵C是AB中點，
∴AC=BC，
∴AC：BC=AC′：C′B′，
∴AC′=C′B′，
∴CC′是△ABB′的中位線，
∴CC′=5，
根據(jù)①易知C′E是梯形ADFB′的中位線，那么C′E=4，
∴CE=CC′-C′E=1．
故答案是1或4．
點評：本題考查了梯形中位線定理，此題關(guān)鍵是會畫草圖，并利用了平行線分線段成比例定理，能考慮到兩種情況．