Question

20．已知△ABC，△EFG均是邊長為4的等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC、EF的中點(diǎn)．
（Ⅰ）如圖①，這兩個(gè)等邊三角形的高為2$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）如圖②，直線AG，F(xiàn)C相交于點(diǎn)M，當(dāng)△EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段BM長的最小值是2$\sqrt{3}$-2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如圖①中，連接AD，在Rt△ABD中，利用勾股定理即可解決問題．
（Ⅱ）如圖①中，連接AE、EC、CG．首先證明∠AMF=90°，在如圖②中，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到BM⊥AC時(shí)，BM最短，由此即可解決問題．

解答 解：（Ⅰ）如圖①中，連接AD，

∵△ABC是等邊三角形，BD=CD，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，∵AB=4，BD=2，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
故答案為2$\sqrt{3}$．

（Ⅱ）如圖①中，連接AE、EC、CG．
∵DE=DF=DC，
∴△EFC是直角三角形，
∴∠ECF=90°，
∵∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADE=∠GDC，
在△ADE和△GDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=DG}\\{∠ADE=∠GDC}\\{DE=DC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△GDC，
∴AE=CG，∠DAE=∠DGC，
∵DA=DG，
∴∠DAG=∠DGA，
∴∠GAE=∠AGC，
∵AG=GA，
∴△AGE≌△GAC，
∴∠GAK=∠AGK，
∴KA=KG，∵AC=EG，
∴EK=KC，
∴∠KEC=∠KCE，
∵∠AKG=∠EKC，
∴∠KAG=∠KCE，
∴EC∥AG，
∴∠AMF=∠ECF=90°，
∴點(diǎn)M在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
如圖②中，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到BM⊥AC時(shí)，BM最短，

∵OB=2$\sqrt{3}$，AO=OM=OC=2，
∴BM的最小值為2$\sqrt{3}$-2．
故答案為2$\sqrt{3}$-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、圓的有關(guān)知識(shí)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明∠AMF=90°，判斷出點(diǎn)M在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，屬于中考�？碱}型．