Question

已知拋物線經(jīng)過及原點(diǎn)．

1.求拋物線的解析式．

2.過點(diǎn)作平行于軸的直線交軸于點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)且位于直線下方的拋物線上，任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線平行于軸交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，直線與直線及兩坐標(biāo)軸圍成矩形（如圖）．是否存在點(diǎn)，使得與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由

3.如果符合（2）中的點(diǎn)在軸的上方，連結(jié)，矩形內(nèi)的四個(gè)三角形之間存在怎樣的關(guān)系？為什么？

 

Answer 1

 

1.由已知可求得：拋物線的解析式為：

2.存在．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，要使，則有，即，解之得，．

當(dāng)時(shí)，，即為點(diǎn)，所以得

要使，則有，即

解之得，，當(dāng)時(shí)，即為點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，所以得．故存在兩個(gè)點(diǎn)使得與相似．點(diǎn)的坐標(biāo)為．（10分）

3.在中，因?yàn)?img width=151 height=45 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew/czsx/16/34796.png" >．所以．

當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，．

所以．

因此，都是直角三角形．

又在中，因?yàn)?img width=151 height=45 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew/czsx/4/34804.png" >．所以．

即有．

所以，又因?yàn)?img width=141 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew/czsx/8/34808.png" >

，所以．（14分）

解析:（1）將已知的三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式中進(jìn)行求解即可．

（2）可根據(jù)拋物線的解析式設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，要使△OPC與△PQB相似，可分兩種情況：

①△OCP∽△PBQ，此時(shí)∠COP=∠BPQ，，用Q點(diǎn)的坐標(biāo)表示出BP、BQ的長，根據(jù)線段的比例關(guān)系式即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

②△OCP∽△QPB，此時(shí)∠CPO=∠BPQ，，方法同①

（3）根據(jù)（2）得出的Q點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行判斷即可，注意運(yùn)用正方形的性質(zhì)和一些特殊角．