Question

15．己知：AB是⊙O的直徑，點E，C是⊙O上的兩點，AC平分∠BAD，AD⊥CD．若CD=8，DE=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 連接OC，BC，推出∠DAC=∠OCA=∠CAO，推出OC∥AD，推出OC⊥DF，根據切線判定證出CD是⊙O的切線，由切線長定理求出AD，由勾股定理求出AC，證△DAC∽△CAB，得出比例式，求出AB，即可得出⊙O的半徑．

解答 解：連接OCBC，如圖所示：
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∴∠ADC=∠OCF，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCF=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC為半徑，
∴CD是⊙O的切線，
∴CD²=DE•DA，即8²=4×DA，
∴DA=16，
∴AC=$\sqrt{C{D}^{2}+D{A}^{2}}$=8$\sqrt{5}$，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°=∠ADC，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即$\frac{8\sqrt{5}}{AB}=\frac{16}{8\sqrt{5}}$，
解得：AB=20，
∴OA=10，
即⊙O的半徑為10．

點評 本題考查了相似三角形的性質和判定，勾股定理，圓周角定理，平行線性質和判定，等腰三角形性質，切線長定理等知識；本題綜合性強，證明CD是⊙O的切線是解決問題的關鍵．