Question

（2013•福州）如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)M，弦MN∥BC交AB于點(diǎn)E，且ME=1，AM=2，AE=

3

（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）求

BN

的長．

Answer 1

分析：（1）欲證明BC是⊙O的切線，只需證明OB⊥BC即可；
（2）首先，在Rt△AEM中，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求得∠A=30°；
其次，利用圓心角、弧、弦間的關(guān)系、圓周角定理求得∠BON=2∠A=60°，由三角形函數(shù)的定義求得ON=

EN

sin∠EON

=

2 3

3

；
最后，由弧長公式l=

nπr

180

計(jì)算

BN

的長．

解答：（1）證明：如圖，
∵M(jìn)E=1，AM=2，AE=

3

，
∴ME²+AE²=AM²=4，
∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°．
又∵M(jìn)N∥BC，
∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB⊥BC．
又∵OB是⊙O的半徑，
∴BC是⊙O的切線；

（2）解：如圖，連接ON．
在Rt△AEM中，sinA=

ME

AM

=

1

2

，
∴∠A=30°．
∵AB⊥MN，
∴

BN

=

BM

，EN=EM=1，
∴∠BON=2∠A=60°．
在Rt△OEN中，sin∠EON=

EN

ON

，
∴ON=

EN

sin∠EON

=

2 3

3

，
∴

BN

的長度是：

60•π

180

•

2 3

3

=

2 3

9

π．

點(diǎn)評：本題綜合考查了切線的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理，弧長的計(jì)算，解直角三角形等．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．