Question

如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A、B的坐標分別為A（0，3）和B（5，0），連接AB．
（1）現(xiàn)將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△COD，（點A落到點C處），請畫出△COD，并求經(jīng)過B、C、D三點的拋物線對應的函數(shù)關(guān)系式；
（2）將（1）中拋物線向右平移兩個單位，點B的對應點為點E，平移后的拋物線與原拋物線相交于點F、P為平移后的拋物線對稱軸上一個動點，連接PE、PF，當|PE-PF|取得最大值時，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，當點P在拋物線對稱軸上運動時，是否存在點P使△EPF為直角三角形？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△COD≌△AOB，則OC=OA、OD=OB，由此可求出C、D的坐標，進而用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）將（1）題所得的拋物線解析式化為頂點式，然后根據(jù)“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律得出平移后的拋物線解析式；聯(lián)立兩個函數(shù)的解析式即可得到F點的坐標；取E點關(guān)于平移后拋物線對稱軸的對稱點E′，那么直線E′F與此對稱軸的交點即為所求的P點，可先求出直線E′F的解析式，聯(lián)立這條對稱軸的解析式即可得到P點的坐標；
（3）可根據(jù)對稱軸方程設出P點坐標，分別表示出PE、PF、EF的長；由于△PEF的直角頂點沒有確定，因此要分成三種情況考慮：①∠EPF=90°，②∠PEF=90°，③∠PFE=90°；可根據(jù)上述三種情況中不同的直角邊和斜邊，利用勾股定理列出關(guān)于P點縱坐標的方程，求出P點的坐標．

解答：解：（1）∵△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△COD
∴OC=OA，OD=OB
∵A（0，3），B（5，0）
∴C（-3，0），D（0，5）
設過B、C、D的拋物線解析式為y=a（x+3）（x-5），
把D（0，5）代入
5=a（0+3）（0-5）
得a=-

1

3

，
∴y=-

1

3

x²+

2

3

x+5；

（2）由題意可知E點的坐標為（7，0）
平移前拋物線為y=-

1

3

x²+

2

3

x+5=-

1

3

（x-1）²+

16

3

∴向右平移2個單位后的拋物線為y=-

1

3

（x-3）²+

16

3

解方程組

y=- 1 3 (x-1)2+ 16 3 y=- 1 3 (x-3)2+ 16 3

，
解得

x=2 y=5

；
∴F（2，5）
取點E關(guān)于對稱軸直線x=3的對稱點E′，則E′（-1，0）
設直線E′F的解析式為y=kx+b，則有

2k+b=5 -k+b=0

，
解得

k= 5 3 b= 5 3

；
∴直線E′F的解析式為y=

5

3

x+

5

3

；
當x=3時，y=

20

3

∴當|PE-PF|取得最大值時，P點坐標為（3，

20

3

）；

（3）設P（3，m），已求E（7，0），F(xiàn)（2，5）
則PE²=（7-3）²+m²=m²+16，EF²=（7-2）²+5²=50，PF²=（3-2）²+（m-5）²=m²-10m+26，
若∠PEF=90°，
則PE²+EF²=PF²，即m²+16+50=m²-10m+26，
解得m=-4，
∴p₁（3，-4）
若∠PFE=90°，
則PF²+EF²=PE²，即m²-10m+26+50=m²+16，
解得m=6，
∴p₂（3，6）
若∠FPE=90°，
則PF²+PE²=EF²，即m²-10m+26+m²+16=50，
解得m=

5± 41

2

∴p3(3，

5+ 41

2

)，P4(3，

5- 41

2

)；
綜上所述，存在點P使△EPF為直角三角形，p₁（3，-4），p₂（3，6），p3(3，

5+ 41

2

)，P4(3，

5- 41

2

)．

點評：此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換、二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)圖象的平移、軸對稱的性質(zhì)、函數(shù)圖象交點坐標的求法以及直角三角形的判定等重要知識點，同時還考查了分類討論的數(shù)學思想，綜合性強，難度較大．