17.如圖:已知△ABC,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn),兩邊PE,PF分別交AB,AC與E,F(xiàn),給出以下五個(gè)結(jié)論:①EF=CP;②CF=AE;③2PF2=EF2;④∠AEP+∠AFP=180°;⑤當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與A,B重合),S四邊形AEPF=$\frac{1}{2}$S△ABC.上述結(jié)論中始終正確的有( 。
A.①②③④⑤B.①②⑤C.①③④⑤D.②③④⑤

分析 ①錯(cuò)誤.∠EPF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,PE的長(zhǎng)度是變化的,所以EF的長(zhǎng)度的變化的,而PC是不變的,故①錯(cuò)誤.
②③⑤正確.只要證明△EPA≌△FPC,即可解決問(wèn)題.
④正確.只要證明△PEF是等腰直角三角形即可.

解答 解:如圖,連接AP.

∵AB=AC,∠BAC=90°,PB=PC,
∴PA=PB=PC,AP⊥BC,
∴∠PAB=∠C=45°,
∴∠APC=∠EPF=90°,
∴∠EPA=∠FPC,
在△EPA和△FPC中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAP=∠C}\\{AP=PC}\\{∠EPA=∠FPC}\end{array}\right.$,
∴△EPA≌△FPC,
∴AE=CF,PE=PF,故②正確,S△EPA=S△FPC,
∴△PEF是等腰直角三角形,
∴EF=$\sqrt{2}$PF,
∴EF2=2PF2,故③正確,
∴S四邊形AEPF=S△PAE+S△PAF=S△PFC+S△PAF=S△APC=$\frac{1}{2}$S△ABC,故⑤正確,
∵∠EAF+∠EPF=180°,
∴∠AEP+∠AFP=360°-(∠EAF-∠EPF)=180°,故④正確,
∵∠EPF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,PE的長(zhǎng)度是變化的,
∴EF的長(zhǎng)度的變化的,而PC是不變的,故①錯(cuò)誤,
故選D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、四邊形的面積、勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題,學(xué)會(huì)添加常用輔助線,屬于中考常考題型.

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