Question

如圖所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)F在CD邊上，射線AF交BD于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．求證：
（1）△ADE≌△CDE；
（2）若點(diǎn)H是FG上的中點(diǎn)，連接EC和CH，求證：CH⊥CE．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）首先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°，再有DE是公共邊，可以利用SAS判定△ADE和△CDE全等；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以證出∠1=∠2，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可以證出CH=HG，進(jìn)而根據(jù)等邊對(duì)等角證出∠G=∠4，再利用AD∥BG可以得到∠1=∠G，再利用等量代換可得到∠2=∠4，然后由∠4+∠3=90°，可得∠2+∠3=90°，即可以證出EC⊥CH．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°，
在△ADE和△CDE中，

AD=CD ∠ADE=∠ DE=DE

CDE，
∴△ADE≌△CDE（SAS）；

（2）證明：∵△ADE≌△CDE，
∴∠1=∠2，
∵在Rt△FCG中，點(diǎn)H是FG上的中點(diǎn)，
∴CH=

1

2

FG=GH，
∴∠4=∠G，
∵AD∥BG，
∴∠1=∠G，
∴∠4=∠1，
∵∠2=∠1，
∴∠4=∠2，
∵∠4+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴EC⊥CH．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，此題的難點(diǎn)是證明EC⊥CH，解決問(wèn)題的突破口是證明∠2=∠4．