Question

已知拋物線C：y=x²-（m+1）x+1的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上．
（1）求m的值；
（2）m＞0時(shí)，拋物線C向下平移n（n＞0）個(gè)單位后與拋物線C₁：y=ax²+bx+c關(guān)于y軸對(duì)稱，且C₁過點(diǎn)（n，3），求C₁的函數(shù)關(guān)系式；
（3）-3＜m＜0時(shí)，拋物線C的頂點(diǎn)為M，且過點(diǎn)P（1，y₀）．問在直線x=-1上是否存在一點(diǎn)Q使得△QPM的周長(zhǎng)最小，如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)拋物線C的頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，△=[-（m+1）]²-4=0，求出m的值，當(dāng)拋物線C的頂點(diǎn)在y軸上時(shí)，-（m+1）=0，求出m的值，即可得到答案；
（2）當(dāng)m＞0時(shí)，m=1，即可得到拋物線C的解析式，向下平移n（n＞0）個(gè)單位后得到y(tǒng)=x²-2x+1-n，根據(jù)拋物線y=x²-2x+1-n與拋物線C₁：y=ax²+bx+c關(guān)于y軸對(duì)稱，得到拋物線C₁：y=x²+2x+1-n，把點(diǎn)（n，3）代入求出即可；
（3）存在，根據(jù)已知可求出拋物線C的解析式是y=x²+1，把P的坐標(biāo)代入即可求出P的坐標(biāo)，作點(diǎn)M（0，1）關(guān)于直線x=-1的對(duì)稱點(diǎn)M′（-2，1），設(shè)直線PM′的解析式為y=kx+b，把P、M′的坐標(biāo)代入得到方程組，求出方程組的解即可求出Q的坐標(biāo)．

解答：（1）解：當(dāng)拋物線C的頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，△=[-（m+1）]²-4=0，
解得m=1或m=-3，
當(dāng)拋物線C的頂點(diǎn)在y軸上時(shí)，-（m+1）=0，
∴m=-1，
即：m=±1或m=-3，
答：m的值是m=±1或m=-3．

（2）解：當(dāng)m＞0時(shí)，m=1，
拋物線C的解析式為y=x²-2x+1，
向下平移n（n＞0）個(gè)單位后得到y(tǒng)=x²-2x+1-n，
拋物線y=x²-2x+1-n與拋物線C₁：y=ax²+bx+c關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴a=1，b=2，c=1-n，
∴拋物線C₁：y=x²+2x+1-n，
∵拋物線C₁過點(diǎn)（n，3）
∴n²+2n+1-n=3，即n²+n-2=0，
解得n₁=1，n₂=-2（由題意n＞0，舍去）∴n=1
∴拋物線C₁：y=x²+2x，
答：C₁的函數(shù)關(guān)系式是y=x²+2x．

（3）解：存在，理由是：
當(dāng)-3＜m＜0時(shí)m=-1，
拋物線C的解析式是y=x²+1，
頂點(diǎn)M（0，1），
∵過點(diǎn)P（1，y₀），
∴y₀=1+1=2，
∴P（1，2），
作點(diǎn)M（0，1）關(guān)于直線x=-1的對(duì)稱點(diǎn)M′（-2，1），
設(shè)直線PM′的解析式為y=kx+b，
把P（1，2），M′（-2，1）代入得：

2=k+b 1=-2k+b

，
解得：

k= 1 3 b= 5 3

，
∴直線PM′的解析式為y=

1

3

x+

5

3

，
∴Q(-1，

4

3

)，
答：在直線x=-1上存在一點(diǎn)Q，使得△QPM的周長(zhǎng)最小，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（-1，

4

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解一元一次方程，解二元一次方程組，二次函數(shù)關(guān)于Y軸的點(diǎn)的坐標(biāo)，平移的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，此題是一個(gè)綜合性很強(qiáng)的題目，題型較好，難度適中．