Question

如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上一點，連接CP并延長，交AD于E，交BA的延長線點F．問：
（1）圖中△APD與哪個三角形全等？并說明理由；
（2）求證：△APE∽△FPA；
（3）猜想：線段PC，PE，PF之間存在什么關(guān)系？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知利用SAS來判定兩三角形全等．
（2）根據(jù)每一問的結(jié)論及已知，利用兩組角相等則兩三角形相似來判定即可；
（3）根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例及全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）△APD≌△CPD．
理由：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADP=∠CDP．
又∵PD=PD，
∴△APD≌△CPD．

證明：（2）∵△APD≌△CPD，
∴∠DAP=∠DCP，
∵CD∥AB，
∴∠DCF=∠DAP=∠CFB，
又∵∠FPA=∠FPA，
∴△APE∽△FPA．

猜想：（3）PC²=PE•PF．
理由：∵△APE∽△FPA，
∴

AP

FP

=

PE

PA

．
∴PA²=PE•PF．
∵△APD≌△CPD，
∴PA=PC．
∴PC²=PE•PF．

點評：本題考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定，菱形的性質(zhì)等知識點，本題中依據(jù)三角形的全等或相似得出線段的相等或比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．