Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)Rt△OAC，點(diǎn)A（3，4），點(diǎn)C（3，0）將其沿直線AC翻折，翻折后圖形為△BAC．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿折線0?A?B的方向以每秒2個(gè)單位的速度向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BO上以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．
（1）設(shè)△OPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（2）如圖2，固定△OAC，將△ACB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后得到的三角形為△A′CB′設(shè)A′B′與AC交于點(diǎn)D當(dāng)∠BCB′=∠CAB時(shí)，求線段CD的長(zhǎng)；
（3）如圖3，在△ACB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，若設(shè)A′C所在直線與OA所在直線的交點(diǎn)為E，是否存在點(diǎn)E使△ACE為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理和折疊的性質(zhì)易求得OA=AB=5，OB=6，可用t表示出OP、OQ的長(zhǎng)，分兩種情況討論：
①點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)，即0≤t≤2.5，以O(shè)Q為底，OP•sin∠AOC為高，即可得S、t的函數(shù)關(guān)系式；
②點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，即2.5＜t≤5，以O(shè)Q為底，BP•sin∠ABC為高，即可得S、t的函數(shù)關(guān)系式．
（2）若∠BCB′=∠CAB，那么∠DCB′、∠ABC為等角的余角，而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠ABC=∠B′，通過(guò)等量代換后可發(fā)現(xiàn)此時(shí)D點(diǎn)是斜邊A′B′的中點(diǎn)，即CD=

1

2

A′B′，由此得解．
（3）首先根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線OP的解析式，然后設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；再根據(jù)A、C的坐標(biāo)，分別表示出AE²、CE²的長(zhǎng)，然后分三種情況討論：①AE=CE，②AE=AC，③CE=AC；
根據(jù)上述三種情況所得不同等量關(guān)系，即可求得符合條件的E點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意知：OA=AB=5，OC=BC=3，OB=6；
P從O→A→B，所用的總時(shí)間為：（5+5）÷2=5s；Q從B→O所用的總時(shí)間為：6÷1=6；
因此t的取值范圍為：0≤t≤5；
①當(dāng)0≤t≤2.5時(shí)，點(diǎn)P在線段OA上；
OP=2t，OQ=OB-BQ=6-t；
∴S=

1

2

×2t×

4

5

×（6-t）=-

4

5

t²+

24

5

t；
②當(dāng)2.5≤t≤5時(shí)，點(diǎn)P在線段AB上；
OP=2t，BP=10-2t，OQ=6-t；
∴S=

1

2

×（10-2t）×

4

5

×（6-t）=

4

5

t²-

44

5

t+24；
綜上可知：S=

- 4 5 t2+ 24 5 t(0≤t≤2.5) 4 5 t2- 44 5 t+24(2.5≤t≤5)

．

（2）∵∠BCB′=∠CAB，
∴∠DCB′=∠ABC=90°-∠CAB=90°-∠BCB′，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠ABC=∠B′，即∠DCB′=∠B′；
∴∠A′=∠A′CD=90°-∠DCB′=90°-∠B′，
∴A′D=DB′=CD，即CD=

1

2

A′B′=

1

2

AB=2.5．

（3）由A（3，4），可得直線OA：y=

4

3

x；
設(shè)點(diǎn)E（x，

4

3

x），已知A（3，4），C（3，0）；
∴AE²=（x-3）²+（

4

3

x-4）²，CE²=（x-3）²+（

4

3

x）²，AC=4；
①當(dāng)AE=CE時(shí)，AE²=CE²，則有：
（x-3）²+（

4

3

x-4）²=（x-3）²+（

4

3

x）²，解得x=

3

2

，
∴E₁（

3

2

，2）；
②當(dāng)AE=AC時(shí)，AE²=AC²=16，則有：
（x-3）²+（

4

3

x-4）²=16，整理得：25x²-150x+81=0，
解得：x=

3

5

，x=

27

5

；
∴E₂（

3

5

，

4

5

），E₃（

27

5

，

36

5

）；
③當(dāng)CE=AC時(shí)，CE²=AC²=16，則有：
（x-3）²+（

4

3

x）²=16，整理得：25x²-54x-63=0，
解得：x=-

21

25

，x=3（舍去）；
∴E₄（-

21

25

，-

28

25

）；
綜上可知：存在符合條件的E點(diǎn)：E₁（

3

2

，2），E₂（

3

5

，

4

5

），E₃（

27

5

，

36

5

），E₄（-

21

25

，-

28

25

）．

點(diǎn)評(píng)：此題是一次函數(shù)的綜合題，涉及到圖形的旋轉(zhuǎn)、圖形面積的求法、等腰三角形的構(gòu)成情況等知識(shí)，難度較大．