試題分析:(1)由△OAB和△BCD都為等邊三角形,等邊三角形的邊長相等,且每一個(gè)內(nèi)角都為60°,得到∠OBA=∠DBC,等號(hào)兩邊都加上∠ABC,得到∠OBC=∠ABD,根據(jù)“SAS”得到△OBC≌△ABD,即可得到對(duì)應(yīng)邊AD與OC相等,由OC表示出AD即可;
(2)隨著C點(diǎn)的變化,直線AE的位置不變.理由為:由(1)得到的兩三角形全等,得到∠BAD=∠BOC=60°,又等邊三角形BCD,得到∠BAO=60°,根據(jù)平角定義及對(duì)頂角相等得到∠OAE=60°,在直角三角形OAE中,由OA的長,根據(jù)tan60°的定義求出OE的長,確定出點(diǎn)E的坐標(biāo),設(shè)出直線AE的方程,把點(diǎn)A和E的坐標(biāo)代入即可確定出解析式;
(3)①由EA與OB平行,且EF也與OB平行,根據(jù)過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線有且只有一條,得到EF與EA重合,所以F為BC與AE的交點(diǎn),又F為BC的中點(diǎn),得到A為OC中點(diǎn),由A的坐標(biāo)即可求出C的坐標(biāo);相切,理由是由F為等邊三角形BC邊的中點(diǎn),根據(jù)“三線合一”得到DF與BC垂直,由EF與OB平行得到BF與OB垂直,得證;
②根據(jù)等邊三角形的“三線合一”得到DF垂直平分BC,所以C與D關(guān)于DF對(duì)稱,所以GB為HC+HG的最小值,GB的求法是:由B,C及G三點(diǎn)在圓F圓周上,得到FB,F(xiàn)C及FG相等,利用一邊的中線等于這邊的一半得到三角形BCG為直角三角形,根據(jù)“三線合一”得到∠CBG為30°,利用cos30°和BC的長即可求出BG,而BC的長需要過B作BM垂直于x軸,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出BM及AM,表示出CM,在直角三角形BMC中,根據(jù)勾股定理表示出BC的長即可.
試題解析:(1)∵△OAB和△BCD都為等邊三角形,
∴OB=AB,BC=BD,
∠OBA=∠DBC=60°,即∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC,
∴∠OBC=∠ABD,
∴△OBC≌△ABD,
∴AD=OC=1+x;
(2)隨著C點(diǎn)的變化,直線AE的位置不變.理由如下:
由△OBC≌△ABD,得到∠BAD=∠BOC=60°,
又∵∠BAO=60°,∴∠DAC=60°,
∴∠OAE=60°,又OA=1,
在直角三角形AOE中,tan60°=
,則OE=
,點(diǎn)E坐標(biāo)為(0,-
),A(1,0),
設(shè)直線AE解析式為y=kx+b,把E和A的坐標(biāo)代入得:
,解得:
,
所以直線AE的解析式為
;
(3)①根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示:
∵∠BOA=∠DAC=60°,EA∥OB,又EF∥OB,則EF與EA所在的直線重合,∴點(diǎn)F為DE與BC的交點(diǎn),
又F為BC中點(diǎn),∴A為OC中點(diǎn),又AO=1,則OC=2,
∴當(dāng)C的坐標(biāo)為(2,0)時(shí),EF∥OB;
這時(shí)直線BO與⊙F相切,理由如下:
∵△BCD為等邊三角形,F(xiàn)為BC中點(diǎn),
∴DF⊥BC,又EF∥OB,
∴FB⊥OB,即∠FBO=90°,
故直線BO與⊙F相切;
②根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示:
由點(diǎn)B,點(diǎn)C及點(diǎn)G在圓F的圓周上得:FB=FC=FG,即FG=
BC,
∴△CBG為直角三角形,又△BCD為等邊三角形,
∴BG為∠CBD的平分線,即∠CBG=30°,
過點(diǎn)B作x軸的垂直,交x軸于點(diǎn)M,由△OAB為等邊三角形,
∴M為OA中點(diǎn),即MA=
,BM=
,MC=AC+AM=x+
,
在直角三角形BCM中,根據(jù)勾股定理得:
BC=
,
∵DF垂直平分BC,∴B和C關(guān)于DF對(duì)稱,∴HC=HB,
則HC+HG=BG,此時(shí)BG最小,
在直角三角形BCG中,BG=BCcos30°=
.
考點(diǎn):1. 一次函數(shù)綜合題;2.等邊三角形的性質(zhì);3.直線與圓的位置關(guān)系;4.軸對(duì)稱-最短路線問題.