Question

（2013•惠安縣質檢）把兩個全等的直角三角形ABC和DEF重疊在一起，其中∠A=60°，AC=1．固定△ABC不動，將△DEF進行如下操作：

（1）如圖1，將△DEF沿線段AB向右平移（即D點在線段AB內移動），當D點移至AB的中點時，連接DC、CF、FB，四邊形CDBF的形狀是

菱形

；
（2）如圖2，將△DEF的D點固定在AB的中點，然后繞D點按順時針方向旋轉△DEF，使DF落在AB邊上，此時F點恰好與B點重合，連接AE，則sinα的值等于

21

14

．

Answer 1

分析：（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和平移的性質，即可得到該四邊形的四條邊都相等，則它是一個菱形；
（2）過D點作DH⊥AE于H，可以把要求的角構造到直角三角形中，根據三角形ADE的面積的不同計算方法，可以求得DH的長，進而求解．

解答：解：（1）如圖1，∵D點是AB的中點，
∴在直角三角形ABC中，
∴CD=AD=BD，
根據平移的性質得到CF=BD，BF=CD，
∴CF=BD=BF=CD，
∴四邊形CDBF是菱形；

（2）如圖2，在Rt△ABC中，
∵∠A=60°，AC=1，
∴BC=AC•tan60°=

3

，AB=

AC

cos60°

=2．
根據旋轉的性質知，BE=BC=

3

，
則在Rt△ABE中，根據勾股定理知AE=

AB2+BE2

=

7

．
過D點作DH⊥AE于H，則S_△ADE=

1

2

AD•BE=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
又S_△ADE=

1

2

AE•DH=

1

2

×

7

DH=

3

2

，
DH=

3

7

=

21

7

，
∴在Rt△DHE′中，sinα=

DH

DE

=

21

14

．
故答案是：菱形；

21

14

．

點評：此題主要考查了銳角三角函數(shù)關系以及相似三角形的判定與性質和菱形的判定以及三角形面積求法等知識，利用平移性質得出對應邊之間的關系是解題關鍵．