Question

已知：如圖，在△OAP中，OA=6，sin∠POA=，cot∠PAO=，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過O、A、P三點．
（1）求點P的坐標；
（2）求二次函數(shù)的解析式；
（3）在x軸的下方，且在二次函數(shù)圖象的對稱軸上求一點M，使得△MOP與△AOP的面積相等．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點P作PH⊥OA，垂足為點H，將原圖分為兩個直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義，列方程求解；
（2）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，由O、A、P三點坐標代入，列方程求a、b、c的值，確定拋物線解析式；
（3）根據(jù)二次函數(shù)解析式可知，對稱軸為x=3，可設(shè)點M的坐標為（3，y），二次函數(shù)的對稱軸與OP相交于點C，由P點坐標可求直線OP解析式，把x=3代入可求C點坐標，由S_△MOP=S_△COM+S_△PCM，S_△MOP=S_△AOP，列方程求M點縱坐標y即可．
解答：解：（1）過點P作PH⊥OA，垂足為點H．
設(shè)點P的坐標為（x，y），則OH=x，PH=y． （1分）
∵，∴tan．∴．∴． （1分）
∵cot，∴．∴． （1分）
∵OA=OH+AH=6，∴． （1分）
∴y=3．∴x=4．
∴點P的坐標為（4，3）． （1分）
（2）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c．
由題意，得（1分）
解得（1分）
∴所求二次函數(shù)的解析式為． （1分）
（3）設(shè)點M的坐標為（3，y），二次函數(shù)的對稱軸與OP相交于點C．
由題意，得 點C的坐標為（3，）． （1分）
∴S_△MOP=S_△COM+S_△PCM=．
（1分）
而S_△MOP=S_△AOP，S_△AOP=，（1分）
∴．∴．
∴點M的坐標為（3，）． （1分）
另解：設(shè)二次函數(shù)的對稱軸與x軸交于點B，連接MA．
∵△MOP與△AOP的面積相等，且OP是公共邊，
∴點M到OP與點A到OP的距離相等． （1分）
∴AM∥OP．
∴∠MAB=∠POA．（1分）
∴tan∠MAB=tan．
∵AB=3，∴． （1分）
∴．
∴點M的坐標為（3，）． （1分）
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是利用直角三角形的邊角關(guān)系求點P的坐標，根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過O、A、P三點，求拋物線解析式，根據(jù)三角形面積相等，列方程求M點的坐標．