Question

（2012•龍川縣二模）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx+b（k＞0，b＞0）與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，與雙曲線y=

m

x

相交于C、D兩點(diǎn)，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，5），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（p，q），作CE⊥x軸于E，作DF⊥y軸于F，連接EF．
（1）請直接寫出m的值：

5

．
（2）判斷△EFC的面積和△EFD的面積是否相等，并說明理由；
（3）若AB=

2

3

CD時，則AB與OA有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接把點(diǎn)D（1，5）代入雙曲線y=

m

x

即可求出m的值；
（2）根據(jù)比例函數(shù)的性質(zhì)可求出△EFC的面積和△EFD，故可得出結(jié)論；
（3）先根據(jù)（2）中的結(jié)論判斷出四邊形ECBF、EADF均為平行四邊形，故可得出AE=DF，CE=BF，由全等三角形的判定定理得出△BDF≌△CAE，故BD=AC，由于AB=

2

3

CD可得出BD=

1

6

CD，再由相似三角形的判定定理得出△BDF∽△CAE，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵點(diǎn)D（1，5）在雙曲線y=

m

x

上，
∴5=

m

1

，
解得m=5．
故答案為：5；

（2）∵C、D兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y=

5

x

的圖象上，
∴pq=5，
∴S_△EFC=

1

2

（-p）（-q）=

1

2

pq=

5

2

，
∵D（1，5），
∴S_△EFD=

1

2

×1×5=

5

2

，
∴△EFC的面積和△EFD的面積相等；

（3）∵△EFC的面積和△EFD的面積相等，
∴EF∥CD，
∵CE∥BF，AE∥DF，
∴四邊形ECBF、EADF均為平行四邊形，
∴AE=DF，CE=BF，
在△BDF與△CAE中，
∵

AE=DF ∠AEC=∠DFB=90° CE=BF

，
∴△BDF≌△CAE，
∴BD=AC，
∵AB=

2

3

CD，
∴BD=

1

6

CD，
∵DF∥AE，
∴△BDF∽△CAE，
∴

DF

OA

=

BD

AC

，

1

OA

=

1 6 CD

2 3 CD

，
解得OA=4，
∴

BF

OB

=

1

4

，
∵BF+OB=5，
∴OB=4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴

OA

AB

=cos45°=

2

2

．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，同底等高的三角形的面積、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)．