如圖,已知∠MAO=90°,△ABC為等邊三角形,OA=4,AB=2
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a,以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過C點(即C點在⊙O上).精英家教網(wǎng)精英家教網(wǎng)精英家教網(wǎng)
(1)當(dāng)⊙O與AC相切于點C時,a的值是多少?
(2)當(dāng)a=2時,試探究⊙O與AB是什么位置關(guān)系?
(3)將△ABC繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)120°后,得到△BEF,若EF所在的直線與⊙O相切,問此時a的值是多少?
分析:(1)△ABC是等邊三角形,則AB=AC,∠BAC=60°;在Rt△OAC中,根據(jù)OA的長和∠OAC的度數(shù),易求得AC的長,即可得到關(guān)于a的等量關(guān)系式,由此得解;
(2)過O作AC的垂線,設(shè)垂足為D;同(1)可求得AD的長,此時發(fā)現(xiàn)AC=2AD,即OD垂直平分AC,得OA=OC,則OA為⊙O的半徑,而OA⊥AM,所以此時⊙O與AB相切;
(3)延長FE交AO的延長線于N,過O作OP⊥EN于P;過C作CD⊥AO于D;可用a分別在Rt△AFN和Rt△ACD中表示出AN、AD、CD的長,進而可表示出OD、ON、OP的長;由于⊙O與FN相切,那么此時⊙O同時經(jīng)過C、P兩點,則OP=OC,可據(jù)此列出關(guān)于a的等量關(guān)系式求出a的值.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)∵⊙O與AC相切于C,
∴OC⊥AC于C,
又∵∠OAM=90°,△ACB為等邊三角形,則:
AC=AB=2
3a
,∠OAC=30°,OC=
1
2
AO=2,
∴42=22+(2
3a
2,
∴a=1;

(2)∵a=2,∴AB=AC=4
3
,精英家教網(wǎng)
過O作OD⊥AC于D,在直角△AOD中,
∠OAC=90°-60°=30°,OA=4,
∴OD=2,AD=
42-22
=2
3
,
∴DC=AD=2
3
,
∴OD垂直平分AC,則半徑OC=OA=4;
∵∠OAM=90°
∴⊙O與AB相切;
精英家教網(wǎng)
(3)延長FE交射線AO于N,作OP⊥EN于P,CD⊥AO于D,
易得CD=
3
a,AD=3a,OD=4-3a;
∵AF=4
3
a,∠ANF=30°,
∴AN=12a,ON=12a-4,
∴OP=6a-2,
∵OP=OC,即OP2=OC2,
∴(6a-2)2=(
3
a)2+(4-3a)2,
a=
2
2
點評:此題主要考查的是等邊三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用.
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