如圖,已知∠MAO=90°,△ABC為等邊三角形,OA=4,AB=a,以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過C點(diǎn)(即C點(diǎn)在⊙O上).
(1)當(dāng)⊙O與AC相切于點(diǎn)C時(shí),a的值是多少?
(2)當(dāng)a=2時(shí),試探究⊙O與AB是什么位置關(guān)系?
(3)將△ABC繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后,得到△BEF,若EF所在的直線與⊙O相切,問此時(shí)a的值是多少?
【答案】分析:(1)△ABC是等邊三角形,則AB=AC,∠BAC=60°;在Rt△OAC中,根據(jù)OA的長和∠OAC的度數(shù),易求得AC的長,即可得到關(guān)于a的等量關(guān)系式,由此得解;
(2)過O作AC的垂線,設(shè)垂足為D;同(1)可求得AD的長,此時(shí)發(fā)現(xiàn)AC=2AD,即OD垂直平分AC,得OA=OC,則OA為⊙O的半徑,而OA⊥AM,所以此時(shí)⊙O與AB相切;
(3)延長FE交AO的延長線于N,過O作OP⊥EN于P;過C作CD⊥AO于D;可用a分別在Rt△AFN和Rt△ACD中表示出AN、AD、CD的長,進(jìn)而可表示出OD、ON、OP的長;由于⊙O與FN相切,那么此時(shí)⊙O同時(shí)經(jīng)過C、P兩點(diǎn),則OP=OC,可據(jù)此列出關(guān)于a的等量關(guān)系式求出a的值.
解答:解:(1)∵⊙O與AC相切于C,
∴OC⊥AC于C,
又∵∠OAM=90°,△ACB為等邊三角形,則:
AC=AB=,∠OAC=30°,OC=AO=2,
∴42=22+(2,
∴a=1;

(2)∵a=2,∴AB=AC=4
過O作OD⊥AC于D,在直角△AOD中,
∠OAC=90°-60°=30°,OA=4,
∴OD=2,AD=,
∴DC=AD=2,
∴OD垂直平分AC,則半徑OC=OA=4;
∵∠OAM=90°
∴⊙O與AB相切;

(3)延長FE交射線AO于N,作OP⊥EN于P,CD⊥AO于D,
易得CD=a,AD=3a,OD=4-3a;
∵AF=4a,∠ANF=30°,
∴AN=12a,ON=12a-4,
∴OP=6a-2,
∵OP=OC,即OP2=OC2,
∴(6a-2)2=(a)2+(4-3a)2,
a=
點(diǎn)評:此題主要考查的是等邊三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用.
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a,以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過C點(diǎn)(即C點(diǎn)在⊙O上).精英家教網(wǎng)精英家教網(wǎng)精英家教網(wǎng)
(1)當(dāng)⊙O與AC相切于點(diǎn)C時(shí),a的值是多少?
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