Question

【題目】已知拋物線的解析式為 ．

（1）若拋物線與x軸總有交點(diǎn)，求c的取值范圍；
（2）設(shè)拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)為A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），且x2＞x1 ， 若x2﹣x1=5，求c的值；
（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，拋物線上是否存在點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線 與x軸總有交點(diǎn)，

∴△=（ ）2﹣4×（﹣ ）c= +2c≥0，

解得c≥﹣ ，

∴c的取值范圍是c≥﹣ ；

（2）

解：∵拋物線 與x軸兩個(gè)交點(diǎn)為A（x1，0），B（x2，0），

∴x1+x2=﹣ =﹣3，x1x2= ﹣2c，

∴（x2﹣x1）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=9+8c=25，

解得c=2；

（3）

解：①由（2）可知OA=4，OB=1，OC=2，

∴ ，

又∵∠COA=∠BOC=90°，

∴△ABC～△ACC～△CBO，

∴C點(diǎn)就符合題意，即M1（0，2）；

②根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)（﹣3，2）也符合題意，即M2（﹣3，2）；

③當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，設(shè) ，則N（n，0），

∴ 當(dāng) 時(shí)， ，

∴ ，

解得：n1=﹣4（舍去），n2=2，

即得到M3（2，﹣3）；

④當(dāng) 時(shí)，MN=2AN，

∴

解得：n1=﹣4（舍去），n2=5，

即得到M4（5，﹣18）．

綜上所述：符合題意的點(diǎn)有四個(gè)，它們是：M1（0，2）、M2（﹣3，2）、M3（2，﹣3）、M4（5，﹣18）．

【解析】（1）根據(jù)拋物線 y = 1 2 x 2 3 2 x + c 與x軸總有交點(diǎn)，由判別式可得c的取值范圍；（2）根據(jù)拋物線 y = 1 2 x 2 3 2 x + c 與x軸兩個(gè)交點(diǎn)，由根與系數(shù)的關(guān)系和x2﹣x1=5， 得到關(guān)于c的方程，解方程即可求解；（3）首先可證明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下幾種情況分類討論即可：①當(dāng)M點(diǎn)與C點(diǎn)重合，即 M（0，2）時(shí)，△MAN∽△BAC；②根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，當(dāng)M（﹣3，2）時(shí)，△MAN∽△ABC； ④當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，解題時(shí)，需要注意相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用二次函數(shù)圖象以及系數(shù)a、b、c的關(guān)系，掌握二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a、b、c的含義：a表示開口方向：a>0時(shí)，拋物線開口向上; a<0時(shí)，拋物線開口向下b與對(duì)稱軸有關(guān)：對(duì)稱軸為x=-b/2a;c表示拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：（0，c）即可以解答此題．