(2013•新疆)如圖,已知⊙O的半徑為4,CD是⊙O的直徑,AC為⊙O的弦,B為CD延長線上的一點,∠ABC=30°,且AB=AC.
(1)求證:AB為⊙O的切線;
(2)求弦AC的長;
(3)求圖中陰影部分的面積.
分析:(1)如圖,連接OA,欲證明AAB為⊙O的切線,只需證明AB⊥OA即可;
(2)如圖,連接AD,構(gòu)建直角△ADC,利用“30度角所對的直角邊是斜邊的一半”求得AD=4,然后利用勾股定理來求弦AC的長度;
(3)根據(jù)圖示知,圖中陰影部分的面積=扇形ADO的面積+△AOC的面積.
解答:(1)證明:如圖,連接OA.
∵AB=AC,∠ABC=30°,
∴∠ABC=∠ACB=30°.
∴∠AOB=2∠ACB=60°,
∴在△ABO中,∠BAO=180°-∠ABO-∠AOB=90°,即AB⊥OA,
又∵OA是⊙O的半徑,
∴AB為⊙O的切線;

(2)解:如圖,連接AD.
∵CD是⊙O的直徑,
∴∠DAC=90°.
∵由(1)知,∠ACB=30°,
∴AD=
1
2
CD=4,
則根據(jù)勾股定理知AC=
CD2-AD2
=4
3
,即弦AC的長是4
3
;

(3)解:由(2)知,在△ADC中,∠DAC=90°,AD=4,AC=4
3
,則S△ADC=
1
2
AD•AC=
1
2
×4×4
3
=8
3

∵點O是△ADC斜邊上的中點,
∴S△AOC=
1
2
S△ADC=4
3

根據(jù)圖示知,S陰影=S扇形ADO+S△AOC=
60π×42
360
+4
3
=
3
+4
3
,即圖中陰影部分的面積是
3
+4
3
點評:本題考查了切線的判定,圓周角定理以及扇形面積的計算.解答(3)時,求△AOC的面積的面積的技巧性在于利用了“等邊同高”三角形的面積相等的性質(zhì).
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