Question

如圖，在△ABC中，D是BC的中點，且AD＝AC，DE⊥BC，DE與AB相交于點E，EC與AD相交于點F.

(1)△ABC與△FCD相似嗎？請說明理由．

(2)點F是線段AD的中點嗎？為什么？

(3)若S_△ABC＝20，BC＝10，求DE的長．

Answer 1

 解：(1)相似．∵AD＝AC，∴∠CDF＝∠BCA.

∵DE垂直平分線段BC，∴EB＝EC，

∴∠FCD＝∠B.

∴△ABC∽△FCD.

(2)是．由△ABC∽△FCD，得，

∴DF＝.

∴點F是AD的中點．

(3)方法一：作AM⊥BC于M，FN⊥BC于N，由問題(1)，(2)的結(jié)論可得S_ΔFCD＝5，FN＝2，且N為DM的中點，M為CD的中點，又易知△FNC∽△EDC，

∴，解得DE＝.

方法二：作AM⊥BC于M，

由·AM＝10，解得AM＝4.

易知△BDE∽△BMA，

∴，∴DE＝.

方法三：作AM⊥BC于M，

則有，

∴S_△BCE＝S_△ABC＝，

于是由·DE＝，解得DE＝.