Question

如圖，拋物線的頂點(diǎn)為P（1，0），一條直線與拋物線相交于A（2，1），B（-

1

2

，m）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線和直線AB的解析式；
（2）若M為線段AB上的動點(diǎn)，過M作MN∥y軸，交拋物線于點(diǎn)N，連接NP、AP，試探究四邊形MNPA能否為梯形？若能，求出此點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可先根據(jù)P點(diǎn)的坐標(biāo)，用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式設(shè)出拋物線的解析式，然后將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中，即可求出二次函數(shù)的解析式，進(jìn)而可求得B點(diǎn)的坐標(biāo)．然后根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線AB的解析式．
（2）可假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M，若四邊形MNPA為梯形，那么只有一種可能即NP∥MA，可通過構(gòu)建相似三角形來求出N點(diǎn)的坐標(biāo)．由于N點(diǎn)在拋物線上，因此可根據(jù)拋物線的解析式設(shè)出N點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)直線AB與x軸的交點(diǎn)為R（R的坐標(biāo)可通過直線AB的解析式求得），過A作AS⊥x軸于S，可通過證三角形NPQ和ARS相似來得出關(guān)于NQ，AS，QP，SR的比例關(guān)系式，據(jù)此可求出N點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后將N點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入直線AB的解析式中即可求出M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意，可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²．
∴a（2-1）²=1，
∴a=1
∴拋物線的解析式為y=x²-2x+1．（1分）
當(dāng)x=-

1

2

時，m=（-

1

2

）²-2×（-

1

2

）+1=

9

4

，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b
∴

- 1 2 k+b= 9 4 2k+b=1

，
解得

k=- 1 2 b=2

．
∴直線AB的解析式為y=-

1

2

x+2．

（2）假設(shè)符合條件的點(diǎn)M存在．
由題意可知，MN不平行于AP，
∴梯形的兩底只能是NP、MA．
設(shè)AB與x軸相交于點(diǎn)R，MN的延長線與x軸相交于點(diǎn)Q，作AS⊥x軸于點(diǎn)S，
由y=-

1

2

x+2知點(diǎn)R的坐標(biāo)為（4，0）．
∵NP∥MA
∴∠NPQ=∠ARS，
∵∠NQP=∠ASR=90°
∴Rt△NPQ∽Rt△ARS
∴

NQ

AS

=

QP

SR

設(shè)N點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x²-2x+1），
則有

x2-2x+1

1

=

1-x

2

，
解得x=

1

2

，x=1（舍去）．
當(dāng)x=

1

2

時，y=-

1

2

×

1

2

+2=

7

4

．
∴符合條件的點(diǎn)M存在，其坐標(biāo)為（

1

2

，

7

4

）．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)、梯形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)．
主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．