Question

如圖1，在正方形ABCD中，E是BC邊上的動點（點E不與端點B、C重合），以AE為邊，在直線BC的上方作矩形AEFG．使頂點G恰好落在射線CD上，過點F作FH⊥BC，交BC的延長線于點H．
（1）求證：①矩形AEFG是正方形；②BE=HC；
（2）若題設(shè)中動點E在BC的延長線上，其他條件不變，請在圖2中補全圖形，猜想（1）中的兩個結(jié)論是否成立，請直接寫出結(jié)論，不需要證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）①證明△ABE≌△ADG，即可解決問題．
②證明△AEB≌△EFH，得到AB=EH，借助AB=BC，即可解決問題．
（2）補全圖2如圖所示，（1）中的兩個結(jié)論仍然成立．

解答：解：（1）證明：①∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=∠ADC
=∠ADG=90°；
∵四邊形AEFG是矩形，
∴∠EAG=90°，
∴∠BAD=∠EAG=90°．
∴∠BAD-∠EAD=∠EAG-∠EAD，
即∠BAE=∠DAG；
在△ABE與△ADG中，

∠BAE=∠DAG AD=AD ∠ABE=∠ADG

，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG．
∴矩形AEFG是正方形．         
②∵矩形AEFG是正方形，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°；
又∵∠AEB+∠EAB=90°，
∴∠EAB=∠FEH．
在△AEB與△EFH中，

∠EAB=∠FEB ∠B=∠H AE=EF

，
∴△AEB≌△EFH（AAS），
∴AB=EH．
∵AB=BC，
∴BC=EH．
∵BC=BE+EC，EH=HC+EC，
∴BE=HC．
（2）補全圖2如圖所示：（1）中的兩個結(jié)論仍然成立．

點評：該題以正方形為載體，以考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用為核心構(gòu)造而成；牢固掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)是靈活運用的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．