Question

如圖，拋物線y=-

1

2

x²+

5

2

x-2與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C．
（1）求證：△AOC∽△COB；
（2）過點C作CD∥x軸交拋物線于點D．若點P在線段AB上以每秒1個單位的速度由A向B運動，同時點Q在線段CD上也以每秒1個單位的速度由D向C運動，則經(jīng)過幾秒后，PQ=AC．

Answer 1

分析：（1）可先根據(jù)拋物線的解析式求出A，B，C的坐標(biāo)，然后看OA，OC，OB是否對應(yīng)成比例即可；
（2）根據(jù)拋物線的對稱性可知：AC=BD，四邊形ABDC為等腰梯形，那么本題可分兩種情況進行求解：
①當(dāng)四邊形APQC是等腰梯形，即四邊形PQDB是平行四邊形時，AC=PQ，那么QD=PB，可據(jù)此來求t的值．
②當(dāng)四邊形ACQP是平行四邊形時，AC=PQ，那么此時AP=CQ，可據(jù)此求出t的值．

解答：解：（1）在拋物線y=-

1

2

x²+

5

2

x-2上，
令y=0時，即-

1

2

x²+

5

2

x-2=0，
得x₁=1，x₂=4
令x=0時，y=-2
∴A（1，0），B（4，0），C（0，-2）（3分）
∴OA=1，OB=4，OC=2
∴

OA

OC

=

1

2

，

OC

OB

=

2

4

=

1

2

∴

OA

OC

=

OC

OB

又∵∠AOC=∠BOC
∴△AOC∽△COB；

（2）設(shè)經(jīng)過t秒后，PQ=AC．
由題意得：AP=DQ=t，
∵A（1，0）、B（4，0）
∴AB=3
∴BP=3-t
∵CD∥x軸，點C（0，-2）
∴點D的縱坐標(biāo)為-2
∵點D在拋物線y=-

1

2

x²+

5

2

x-2上
∴D（5，-2）
∴CD=5
∴CQ=5-t
①當(dāng)AP=CQ，即四邊形APQC是平行四邊形時，PQ=AC．
t=5-t，t=2.5
②連接BD，當(dāng)DQ=BP，即四邊形PBDQ是平行四邊形時，PQ=BD=AC．
t=3-t，t=1.5，
所以，經(jīng)過2.5秒或1.5秒時，PQ=AC．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰梯形和平行四邊形的性質(zhì)等知識點，綜合性強，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．