Question

（本小題滿分8分）如圖，拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心為M.
⑴ 求圓心M的坐標(biāo)；
⑵ 求⊙M上劣弧AB的長；
⑶ 在拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使線段OC和MD互相平分？若存在，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：⑴3分 ，∵    ∴
∴對稱軸為，頂點(diǎn)（1，-3）
又∵拋物線與軸交點(diǎn)（，0）、（，0）
∴
作拋物線對稱軸交于點(diǎn)，則（1，0）
∴圓心在對稱軸上，連接
∵⊙中，
∴
設(shè)⊙半徑為，則
∵（1，-3）
∴
∴
∵中
∴ 解得
∴
∵
∴圓心的坐標(biāo)為（1，-1）
⑵3分，∵△BMN中，∠MNB＝90°，，
∴
∴∠NMB＝60°
∴∠AMB＝2∠NMB＝120°
∴⊙M上劣弧AB的長為
⑵ 2分，若線段OC和MD互相平分，則四邊形必定是平行四邊形
∴且
∵
∴點(diǎn)即為點(diǎn)向下平移2個(gè)單位得點(diǎn)
∴點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2）

這是一道關(guān)于圓與二次函數(shù)的綜合題，有一定的難度，需要學(xué)生對所學(xué)知識(shí)綜合利用。