Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸相交于點(diǎn)M（3，0），與y軸相交于點(diǎn)N（0，-1），反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過線段MN的中點(diǎn)A．
（1）求直線l和反比例函數(shù)的解析式；
（2）在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上取不同于點(diǎn)A的一點(diǎn)B，作BC⊥x軸于點(diǎn)C，連接OB交直線l于點(diǎn)P，若△ONP的面積是△OBC的面積的3倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線l的解析式，根據(jù)點(diǎn)A為線段MN的中點(diǎn)即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求出S_△OBC的面積，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，$\frac{1}{3}$a-1）（0＜a＜3），根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合S_△ONP的面積即可求出a值，進(jìn)而即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)直線l的解析式為y=mx+n（m≠0），
將（3，0）、（0，-1）代入y=mx+n，
$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{n=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{3}}\\{n=-1}\end{array}\right.$，
∴直線l的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-1．
∵點(diǎn)A為線段MN的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．
將A（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）代入y=$\frac{k}{x}$，
$\frac{k}{\frac{3}{2}}$=-$\frac{1}{2}$，解得：k=-$\frac{3}{4}$，
∴反比例函數(shù)解析式為y=-$\frac{3}{4x}$．
（2）∵S_△OBC=$\frac{1}{2}$|k|=$\frac{3}{8}$，
∴S_△ONP=3S_△OBC=$\frac{9}{8}$．
∵點(diǎn)N（0，-1），
∴ON=1．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，$\frac{1}{3}$a-1）（0＜a＜3），
∴S_△ONP=$\frac{1}{2}$ON•a=$\frac{1}{2}$a=$\frac{9}{8}$，
∴a=$\frac{9}{16}$，$\frac{1}{3}$a-1=-$\frac{13}{16}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{9}{16}$，-$\frac{13}{16}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．