Question

12．如圖，△ABC是等邊三角形，P是CB延長線上一點，Q是BC延長線上一點，且滿足∠PAQ=120°．求證：BC²=PB•QC．

Answer 1

分析 由∠PAQ=120°，△ABC是等邊三角形，易得∠QAC=∠P，∠ABP=∠QCA=180°-60°=120°，即可證得△APB∽△QAC，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得結論．

解答 證明：∵△ABC是等邊三角形，∠PAQ=120°，
∴∠PAB+∠QAC=60°，
∵∠PAB+∠P=∠ABC=60°，
∴∠QAC=∠P，
∵∠ABP=∠QCA=180°-60°=120°，
∴△APB∽△QAC，
∴PB：AC=AB：QC，
∴AB•AC=PB•QC，
∵AB=AC=BC，
∴BC²=PB•QC．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質以及等邊三角形的性質．注意證得△APB∽△QAC是關鍵．