Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=

1

2

．點D在邊AC上（不與A，C重合），連接BD，F(xiàn)為BD中點．
（1）若過點D作DE⊥AB于E，連接CF、EF、CE，如圖1． 設(shè)CF=kEF，則k=

 

；
（2）若將圖1中的△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，使得D、E、B三點共線，點F仍為BD中點，如圖2所示．求證：BE-DE=2CF；
（3）若BC=6，點D在邊AC的三等分點處，將線段AD繞點A旋轉(zhuǎn)，點F始終為BD中點，求線段CF長度的最大值．

Answer 1

分析：（1）由F為BD中點，DE⊥AB，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得到CF=EF；
（2）過點C作CE的垂線交BD于點G，設(shè)BD與AC的交點為Q．由tan∠BAC=

1

2

，得到

BC

AC

=

DE

AE

=

1

2

．證明△BCG∽△ACE，得到

BC

AC

=

GB

AE

=

1

2

．得到GB=DE，得到F是EG中點．于是CF=

1

2

EG，即可得到BE-DE=EG=2CF；
（3）分類討論：當AD=

1

3

AC時，取AB的中點M，連接MF和CM，tan∠BAC=

1

2

，且BC=6，計算出AC=12，AB=6

5

．M為AB中點，則CM=3

5

，F(xiàn)M=

1

2

AD=2．當且僅當M、F、C三點共線且M在線段CF上時CF最大，此時CF=CM+FM=2+3

5

；當AD=

2

3

AC時，取AB的中點M，連接MF和CM，類似于情況1，可知CF的最大值為4+3

5

．即可得到線段CF長度的最大值．

解答：解：（1）∵F為BD中點，DE⊥AB，
∴CF=

1

2

BD，EF=

1

2

BD，
∴CF=EF，
∴k=1；
故答案為1．

（2）如圖，過點C作CE的垂線交BD于點G，設(shè)BD與AC的交點為Q．

由題意，tan∠BAC=

1

2

，
∴

BC

AC

=

DE

AE

=

1

2

．
∵D、E、B三點共線，
∴AE⊥DB．
∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°，
∴∠QBC=∠EAQ．
∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，
∴∠ECA=∠BCG．
∴△BCG∽△ACE．
∴

BC

AC

=

GB

AE

=

1

2

∴GB=DE．
∵F是BD中點，
∴F是EG中點．
在Rt△ECG中，CF=

1

2

EG，
∴BE-DE=EG=2CF；

（3）情況1：如圖，當AD=

1

3

AC時，取AB的中點M，連接MF和CM，

∵∠ACB=90°，tan∠BAC=

1

2

，且BC=6，
∴AC=12，AB=6

5

．
∵M為AB中點，
∴CM=3

5

，
∵AD=

1

3

AC，
∴AD=4．∵M為AB中點，F(xiàn)為BD中點，
∴FM=

1

2

AD=2．
如圖：∴當且僅當M、F、C三點共線且M在線段CF上時CF最大，
此時CF=CM+FM=2+3

5

．
情況2：如圖，當AD=

2

3

AC時，取AB的中點M，連接MF和CM，
類似于情況1，可知CF的最大值為4+3

5

．
綜合情況1與情況2，可知當點D在靠近點C的
三等分點時，線段CF的長度取得最大值為4+3

5

．

點評：本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)．也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．