Question

閱讀下列材料：
∵

1

1×3

=

1

2

(1-

1

3

)，

1

3×5

=

1

2

(

1

3

-

1

5

)，

1

5×7

=

1

2

(

1

5

-

1

7

)，…

1

17×19

=

1

2

(

1

17

-

1

19

)，
∴

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

17×19

=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

5

-

1

7

)+…+

1

2

(

1

17

-

1

19

)
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

17

-

1

19

)
=

1

2

(1-

1

19

)=

9

19

．
解答下列問題：
（1）在和式

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…中，第6項為

 

，第n項是

 

．
（2）上述求和的想法是通過逆用

 

法則，將和式中的各分數(shù)轉化為兩個數(shù)之差，使得除首末兩項外的中間各項可以

 

，從而達到求和的目的．
（3）受此啟發(fā)，請你解下面的方程：

1

x(x+3)

+

1

(x+3)(x+6)

+

1

(x+6)(x+9)

=

3

2x+18

．

Answer 1

分析：此題是閱讀分析題，解此題的關鍵是認真審題，找到規(guī)律（兩個連續(xù)奇數(shù)的積的倒數(shù)等于它們的倒數(shù)差的一半），再依據(jù)規(guī)律解題即可．

解答：解：（1）

1

11×13

，

1

(2n-1)(2n+1)

；

（2）分式減法，對消；

（3）將分式方程變形為

1

3

(

1

x

-

1

x+3

+

1

x+3

…-

1

x+9

)=

3

2x+18

．
整理得

1

x

-

1

x+9

=

9

2(x+9)

，方程兩邊都乘以2x（x+9），得
2（x+9）-2x=9x，解得x=2．
經檢驗，x=2是原分式方程的根．

點評：此方程若用常規(guī)方法來解，顯然很難，這種先拆分分式化簡后再解分式方程的方法不失是一種技巧．