Question

（1）已知正方形ABCD ，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，求證EG = FH”（如圖1）；

（2）如果把條件中的“正方形”改為“長方形”，并設(shè)AB =2，BC =3（如圖2），試探究EG、FH之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）如果把條件中的“EG⊥FH”改為“EG與FH的夾角為45°”，并假設(shè)正方形ABCD的邊長為1，FH的長為（如圖3），試求EG的長度。

Answer 1

試題分析：因為ABCD是正方形，






在（2）的條件下，此時仍然滿足EG = FH”
過Ａ作AM//EG，作AN//FH，連接ＭＮ，延長ＣＢ至Ｐ，使ＰＢ＝ＤＭ，連接ＡＰ，過Ａ作ＭＮ的垂線交ＭＮ于Ｑ。
顯然三角形ＡＢＰ與ＡＤＭ全等，ＡＰ＝ＡＭ，角ＤＡＭ＝角ＢＡＰ
可知角ＰＡＮ＝４５°，三角形ＡＮＰ與ＡＮＭ全等，ＭＮ＝ＮＰ＝ＢＮ＋ＤＭ
設(shè)ＤＭ＝ｘ
則：ＭＣ＝１－ｘ 
AN=FH=
BN=1/2
MN=NP=BN+DM=1/2+x
NC=1-1/2=1/2
在直角三角形ＣＭＮ中，


EG=AM=
點評：解答本題的的關(guān)鍵是熟練掌握有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；兩組邊對應(yīng)成比例且夾角相等的三角形相似.