Question

如圖，矩形ABCD中，AB=6m，AD=4m．
（1）如圖（1），矩形AEFN的頂點(diǎn)E，N分別在邊AB和AD上，點(diǎn)F在矩形ABCD的內(nèi)部，以點(diǎn)A為位似中心，作矩形AEFN的位似矩形AMPQ，且使得矩形的頂點(diǎn)P恰好落在對(duì)角線BD上；（不要求寫作法）
（2）若AM=4m，求矩形AMPQ的面積；
（3）如圖（2），在一個(gè)矩形空地ABCD上，王師傅準(zhǔn)備修建一個(gè)矩形的花壇AMPQ，要求點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)Q在AD上，設(shè)AM的長(zhǎng)為xm，矩形AMPQ的面積為Sm²，求當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值？并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)位似圖形的定義，連接AF并延長(zhǎng)與BD相交于P，過P作PM∥AD交AB于M，作PQ∥AB交AD于Q，四邊形AMPQ即為矩形AEFN的位似圖形；
（2）先求出MB，然后根據(jù)△ABD和△MBP相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式求出PM，再根據(jù)矩形的面積公式列式計(jì)算即可得解；
（3）用x表示出MB=6-x，然后根據(jù)△ABD和△MBP相似，再利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式求出PM，再根據(jù)矩形的面積公式列式整理，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．

解答：解：（1）矩形AEFN的位似矩形AMPQ如圖所示；

（2）∵AB=6m，AM=4m，
∴MB=AB-AM=6-4=2m，
∵PM∥AD，
∴△ABD∽△MBP，
∴

PM

AD

=

MB

AB

，
即

PM

4

=

2

6

，
解得PM=

4

3

m，
∴矩形AMPQ的面積=AM•PM=4×

4

3

=

16

3

m²；

（3）AM=xm時(shí)，MB=AB-AM=6-x，
∵PM∥AD，
∴△ABD∽△MBP，
∴

PM

AD

=

MB

AB

，
即

PM

4

=

6-x

6

，
解得PM=

2

3

（6-x），
∴矩形AMPQ的面積為S=AM•PM=x•

2

3

（6-x）=-

2

3

（x²-6x+9）+6=-

2

3

（x-3）²+6，
即S=-

2

3

（x-3）²+6，
所以，當(dāng)x=3m時(shí)，S有最大值為6m²．

點(diǎn)評(píng)：本題是四邊形綜合題型，主要考查了位似圖形的畫法，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，難度不大，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式表示出PM是解題的關(guān)鍵．