Question

 (1）求拋物線的解析式，并求出頂點(diǎn)A的坐標(biāo).

(2) 連結(jié)AB，平移AB所在的直線，使其經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，得到直線.點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）當(dāng)△的周長(zhǎng)最小時(shí)，在直線AB的上方是否存在一點(diǎn)Q，使以A，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△POB相似，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.（規(guī)定：點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)不為點(diǎn)O）

 

Answer 1

（1）_，（4，4）(2) （2，-2）(3)存在，點(diǎn)坐標(biāo)為（8，16）、（20，4）（8,2）、（6,4） 

【解析】（1）∵點(diǎn)B與O（0，0）關(guān)于直線x=4對(duì)稱,

∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（8，0）.

將點(diǎn)B坐標(biāo)代入得：

64+16=0,

∴=.

∴拋物線解析式為.               2分

當(dāng)=4時(shí)，,

∴頂點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，4）.                  2分

（說(shuō)明：可用對(duì)稱軸為,求值,用頂點(diǎn)式求頂點(diǎn)A坐標(biāo).）

（2）設(shè)直線AB解析式為y=kx+b.

∵A(4,4),B(8,0),

∴ 解得,   ∴.-

∵直線∥AB且過(guò)點(diǎn)O,

∴直線解析式為.

A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是A₁（-4，-4），連接A₁B，則直線A₁B的函數(shù)關(guān)系式是

由  得交點(diǎn)P（2，-2）                         4分

 (3)存在，點(diǎn)坐標(biāo)為（8，16）、（20，4）（8,2）、（6,4）         4分

主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的確定，函數(shù)圖象交點(diǎn)及圖形面積的求法等重要知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大