Question

已知拋物線y=ax²-2x+c與x軸交于A（-1，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為x=1，頂點(diǎn)為E，直線y=-

1

3

x+1交y軸于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求證：△BCE∽△BOD；
（3）點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△BDP的面積等于△BOE的面積？

Answer 1

分析：（1）在拋物線y=ax²-2x+c中，已知對(duì)稱軸x=-

b

2a

=1，可求出a的值；再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，可確定c的值，由此得解．
（2）首先由拋物線的解析式，確定點(diǎn)B、C、E的坐標(biāo)，由直線BD的解析式能得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；在求出△BCE、△BOD的三邊長(zhǎng)后，由SSS來(lái)判定這兩個(gè)三角形相似．
（3）△BOE的面積易得，而在（2）中求出了BD的長(zhǎng)，由△BDP、△BOE的面積相等先求出點(diǎn)P到直線BD的距離，如何由這個(gè)距離求出點(diǎn)P的坐標(biāo)？這里需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化；首先在y軸上取一點(diǎn)（可設(shè)為點(diǎn)M），使得點(diǎn)M到直線BD的距離等于點(diǎn)P到直線BD的距離，通過(guò)解直角三角形先求出DM的長(zhǎng)，由此確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后過(guò)M作平行于直線BD的直線，再聯(lián)立拋物線的解析式即可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）拋物線y=ax²-2x+c中，對(duì)稱軸x=-

b

2a

=-

-2

2a

=1，∴a=1；
將點(diǎn)A（-1，0）代入y=ax²-2x+c中，得：1+2+c=0，c=-3；
∴拋物線的解析式：y=x²-2x-3．

（2）∵拋物線的解析式：y=x²-2x-3=（x-1）²-4=（x+1）（x-3），
∴點(diǎn)C（0，-3）、B（3，0）、E（1，-4）；
易知點(diǎn)D（0，1），則有：
OD=1、OB=3、BD=

10

；
CE=

2

、BC=3

2

、BE=2

5

；
∴

OD

CE

=

OB

BC

=

BD

BE

；
∴△BCE∽△BOD．

（3）S_△BOE=

1

2

×BO×|y_E|=

1

2

×3×4=6；
∴S_△BDP=

1

2

×BD×h=S_△BOE=6，即 h=

12

10

．
在y軸上取點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BD于N，使得MN=h=

12

10

；
在Rt△MND中，sin∠MDB=

3

10

，且 MN=

12

10

；則 MD=

MN

sin∠MDB

=4；
∴點(diǎn)M（0，-3）或（0，5）．
過(guò)點(diǎn)M作直線l∥MN，如右圖，則 直線l：y=-

1

3

x-3或y=-

1

3

x+5，聯(lián)立拋物線的解析式有：

y=- 1 3 x-3 y=x2-2x-3

或

y=- 1 3 x+5 y=x2-2x-3

解得：

x1=0 y1=-3

、

x2= 5 3 y2=- 32 9

、

x3= 5+ 313 6 y3= 85- 313 18

、

x4= 5- 313 6 y4= 85+ 313 18

∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-3）、（

5

3

，-

32

9

）、（

5+ 313

6

，

85- 313

18

）、（

5- 313

6

，

85+ 313

18

）時(shí)，△BDP的面積等于△BOE的面積．

點(diǎn)評(píng)：該題涉及到拋物線解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)以及圖形面積的解法等重點(diǎn)知識(shí)；最后一題中，由于BD不與x軸、y軸垂直，給解答帶來(lái)了難度，但通過(guò)將BD邊上的高進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，得出過(guò)點(diǎn)P且與BD平行的直線l的解析式是突破題目的關(guān)鍵．