Question

8．已知：P是正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥BC，E、F分別為垂足，求證：DP=EF．

Answer 1

分析 連結(jié)PB，由正方形的性質(zhì)得到BC=DC，∠BCP=∠DCP，接下來(lái)證明△CBP≌△CDP，于是得到DP=BP，然后證明四邊形BFPE是矩形，由矩形的對(duì)角線(xiàn)相等可得到BP=EF，從而等量代換可證得問(wèn)題的答案．

解答 證明：連結(jié)PB．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°．
∵在△CBP和△CDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCP=∠DCP}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△CBP≌△CDP．
∴DP=BP．
∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠B=90°
∴四邊形BFPE是矩形．
∴BP=EF．
∴DP=EF．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)和判定，證得四邊形BFPE為矩形是解題的關(guān)鍵．