Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-

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x+1分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B．
（1）以AB為一邊在第一象限內(nèi)作等邊△ABC及△ABC的外接圓⊙M（用尺規(guī)作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）；
（2）若⊙M與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，求A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）求經(jīng)過(guò)A，B，D三點(diǎn)的拋物線的解析式，并判斷在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△ADP的面積等于△ADC的面積？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）分別以A、B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧．兩弧相交于AB上方的C點(diǎn)，連接AC、BC，△ABC就是所求作的等邊三角形．
作△ABC的外接圓時(shí)，可作任意兩邊的垂直平分線，垂直平分線的交點(diǎn)就是圓心M；
（2）根據(jù)直線AB的解析式可求出A、B的坐標(biāo)，此時(shí)可得出∠OBA=60°，那么AC∥y軸，因此C點(diǎn)的橫坐標(biāo)與A點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，C點(diǎn)的縱坐標(biāo)是B點(diǎn)縱坐標(biāo)的2倍據(jù)此可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．連接BD，不難得出∠DBO=∠BAO=30°，由此可根據(jù)相似三角形OBD和OAB得出OB²=OD•OA，由此可求出OD的長(zhǎng)，即D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）可根據(jù)（2）得出的A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．已知了△ADP和△ADC的面積相等，那么P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值和C點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，然后將P點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖，正確作出圖形，保留作圖痕跡；

（2）由直線y=-

3

3

x+1，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

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，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1）∴在Rt△AOB中，OA=

3

，OB=1
∴AB=2，tan∠OBA=

OA

OB

=

3

∴∠OBA=60°
∴∠OAB=90°-∠OBA=30°
∵△ABC是等邊三角形
∴CA=AB=2，∠CAB=60°
∴∠CAD=∠CAB+∠OAB=90°
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

3

，2），連接BM
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠MBA=

1

2

∠ABC=30°
∴∠OBM=∠OBA+∠MBA=90°
∴OB⊥BM
∴直線OB是⊙M的切線．
∴OB²=OD•OA
∴12=OD•

3

∴OD=

3

3

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

3

3

，0）；

（3）設(shè)經(jīng)過(guò)A，B，D三點(diǎn)的拋物線的解析式是y=a（x-

3

3

）（x-

3

）
把B（0，1）代入上式得a=1
∴拋物線的解析式是y=x²-

4

3

3

x+1
存在點(diǎn)P，使△ADP的面積等于△ADC的面積
點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為P₁（

2 3 - 21

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，2），P₂（

2 3 + 21

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，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合性很強(qiáng)的壓軸題，主要考查二次函數(shù)、一次函數(shù)、圓、幾何作圖等大量知識(shí)，第3小題是比較常規(guī)的結(jié)論存在性問(wèn)題，運(yùn)用方程思想和數(shù)形結(jié)合思想可解決．