Question

如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD的中點(diǎn)，AF、DE相交于點(diǎn)G，可以證明①AF＝DE�、贏F⊥DE．

(1)如圖②，若點(diǎn)E、F不是正方形ABCD的邊BC、CD的中點(diǎn)，但滿足CE＝DF．則結(jié)論①AF＝DE　②AF⊥DE是否仍然成立？(請(qǐng)直接回答“成立”或“不成立”，不必證明)

(2)如圖③，若點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊CB的延長(zhǎng)線和DC的延長(zhǎng)線上，且CE＝DF．則結(jié)論①AF＝DE�、贏F⊥DE是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖④，在(2)的基礎(chǔ)上，連接AE和EF，若點(diǎn)M、N、P、Q分別為AE、EF、FD、AD的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一種？并寫出證明過(guò)程．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)結(jié)論①AF＝DE，結(jié)論②AF⊥DE均成立(1分)

　　(2)結(jié)論①AF＝DE，結(jié)論②AF⊥DE均成立(2分)

　　證明：∵四邊形ABCD是正方形

　　∴∠ADF＝∠DCE＝90°，AD＝DC(3分)

　　又∵DF＝CE　　∴△ADF≌△DCE

　　∴AF＝DE，∠F＝∠E(4分)

　　又∵∠E＋∠EDC＝90°　　∴∠F＋∠EDC＝90°

　　∴∠DGF＝90°　　∴AF⊥DE(5分)

　　(3)四邊形MNPQ是正方形(6分)

　　證明：∵AM＝ME，AQ＝QD　　∴MQ//ED，(7分)

　　同理NP//ED，　　∴

　　∴四邊形MNPQ是平行四邊形(8分)

　　∵M(jìn)E＝MA，NE＝NF　　∴MN//AF，

　　又∵AF＝ED　　∴MQ＝MN　　∴MNPQ是菱形(9分)

　　∵AF⊥DE，MQ//ED　　∴AF⊥MQ

　　又∵M(jìn)N//AF　　∴MN⊥MQ

　　∴∠QMN＝90°　　∴菱形MNPQ是正方形(10分)