Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），點(diǎn)F在AD上，過點(diǎn)E作EG⊥EF交BC于點(diǎn)G，連接FG．

（1）當(dāng)BE=AF時(shí)，求證：EF=EG
（2）若AB=4，AF=1，且設(shè)AE=n，
①當(dāng)FG∥AB時(shí)，求n的值；

Answer 1

【答案】
（1）

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=90°，

∵EG⊥EF，

∴∠AEF+∠BEG=90°，

∵∠AFE+∠AEF=90°，

∴∠AFE=∠BEG，

在△AEF和△BGE中，

，

∴△AEF≌△BGE（ASA），

∴EF=EG；

（2）

∵FG∥AB，

∴BG=AF=1，

∵AB=4，AE=n，

∴BE=4﹣n，

由（1）可得∠A=∠B=90°，∠AFE=∠BEG，

∴△AEF∽△BGE，

∴ = ，即 = ，

∴解得n1=2﹣ ，n2=2+ ；

②當(dāng)BG取最大值時(shí)，求△EFG的面積．

∵△AEF∽△BGE，

∴ = ，

∴BG= =n（4﹣n）=﹣n2+4n=﹣（n﹣2）2+4，

∴當(dāng)n=2時(shí)，BG有最大值4，

此時(shí)點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，

∴EF= = = ，

EG= = =2 ，

∴△EFG的面積= EG×EF= × ×2 =5．

【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，判定△AEF≌△BGE，即可得出EF=EG；（2）①根據(jù)∠A=∠B=90°，∠AFE=∠BEG，即可判定△AEF∽△BGE，進(jìn)而得到 = ，即 = ，據(jù)此可得n的值；②根據(jù)△AEF∽△BGE，得出 = ，即BG= =n（4﹣n）=﹣n2+4n=﹣（n﹣2）2+4，進(jìn)而得到當(dāng)n=2時(shí)，BG有最大值4，據(jù)此可得點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，再根據(jù)勾股定理求得EF= = ，EG= =2 ，最后根據(jù)△EFG的面積= EG×EF進(jìn)行計(jì)算即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形才能正確解答此題．