Question

（1）計(jì)算并觀察下列各式：（x-1）（x+1）=

 

；（x-1）（x²+x+1）=

 

；（x-1）（x³+x²+x+1）=

 

；
（2）從上面的算式及計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？請(qǐng)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫下面的空格．（x-1）（

 

）=x⁶-1；
（3）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=

 

；
（4）利用該規(guī)律計(jì)算：1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁰．

Answer 1

分析：（1）計(jì)算：（x-1）（x+1）=x²-1；（x-1）（x²+x+1）=x³-1；可以得出規(guī)律：（x-1）（x^n-1+x^n-2+…+1）=（xⁿ-1），所以得出（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
（2）利用（1）得出的規(guī)律可得出（x-1）（x⁵+x⁴+x³+x²+x+1 ）=x⁶-1；
（3）利用（1）得出的規(guī)律可得出（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁷-1；
（4）兩邊乘以（3-1），利用（1）得出的規(guī)律可得出1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁰=

32011-1

2

．

解答：解：（1）（x-1）（x+1）=x²-1，
（x-1）（x²+x+1）=x³+x²+x-x²-x-1=x³-1；
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴+x³+x²+x-x³-x²-x-1=x⁴-1，
即答案為：x²-1，x³-1，x⁴-1；
（2）由（1）可以推出：（x-1）（x^n-1+x^n-2+…+1））=（xⁿ-1），
所以題目中應(yīng)填：x⁷-1；
（3）根據(jù)上面推出的規(guī)律可得答案為：x⁵+x⁴+x³+x²+x+1
（4）1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁰=（3-1）（1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁰）÷2=

32011-1

2

．

點(diǎn)評(píng)：通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是應(yīng)該具備的基本能力．本題的關(guān)鍵規(guī)律為：（x-1）（x^n-1+x^n-3+…+1）=（xⁿ-1）．